Multinomialverteilung (m = 3) mit wechselnder Wahrscheinlichkeit |
| 30.11.2010, 16:05 | ThomasK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Multinomialverteilung (m = 3) mit wechselnder Wahrscheinlichkeit Ich stelle das Ganze mal unter Rätsel, weil ich keine Ahnung habe, inwieweit sowas als Stoff in irgendeiner Vorlesung oder ähnlichem behandelt wird. Falls das nicht passt bitte verschieben.. Das Problem (in Zahlen): Ich habe zwei Urnen, darin je 10 Kugeln. Erste Urne: 1 weiß, 5 blau, 4 schwarz. Zweite Urne: 2 weiß, 5 blau, 3 schwarz Ich ziehe insgesamt 15mal, dabei anfangs immer aus der ersten Urne. Falls ich ein 5. mal blau ziehe, wechsle ich zu Urne zwei, und ziehe nur noch aus dieser Urne. (Ziehe ich insgesamt weniger als 5 mal blau, bleibt es immer bei Urne 1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich nach 15mal Ziehen mindestens 5 weiße Kugeln gezogen habe? Meine Ideen: Der einzige vollständige korrekte Ansatz der mir dazu eingefallen ist, ist eine Aufschlüsselung aller Pfade, wobei man bestimmte Pfade kürzen kann. Das führt zwar zu einer Lösung, als Programm auch mit etwas größerne Zahlen als im Beispiel, aber die Anzahl der Pfade bzw die Laufzeit explodiert sehr schnell. Ich komme nicht um das Problem herum, dass ich nicht weiß, wie oft aus der ersten Urne gezogen wird. Das Problem (allgemeiner): Das sind sowas wie zwei verschiedene Multinomialverteilungen, m=3, also mit 3 verschiedenen Zufallsgrößen. Einmal sind die Wahrscheinlichkeiten p1=0,1; p2=0,5; p3=0,4 Und der zweiten p1=0,2; p2=0,5; p3=0,3 n wäre insgesamt 15 - aber ob mir diese Betrachtungsweise irgendwas bringt weiß ich nicht.. Folgende Überlegung habe ich noch angestellt, im Blick auf eine Näherung oder sowas: Nach durchschnittlich 10 Zügen habe ich aus der ersten Urne 5 blaue Kugeln erwischt (da die Wahrscheinlichkeit 0,5 beträgt). Das heißt, ich habe für - durchschnittlich - zwei Drittel des Experiments p(weiß) = 0,1 und für ein Drittel p(weiß) = 0,2. Kann man daraus eine Art mittlere Wahrscheinlich bilden, und das Ganze dann als Binomialverteilung lösen? Nach Experimenten müsste diese allerdings bei grob 0,1283 liegen.. |
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| 30.11.2010, 16:16 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn es um Ziehen ohne Zurücklegen geht, dann kann dieser Fall gar nicht eintreten: Spätestens nach der zehnten Kugel ist Urne 1 aufgebraucht und man hat die 5 blauen Kugeln spätestens im zehnten Versuch. Anscheinend geht es also bei dir um Ziehen mit Zurücklegen, oder? 
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| 30.11.2010, 16:21 | ThomasK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist richtig. Leider kann ich meinen Beitrag anscheinend nicht mehr bearbeiten, sonst hätte ich es noch hinzugefügt. Die Information hatte ich auch beim Schreiben mal drin, muss irgendwann beim Umformulieren verloren gegangen sein. Sonst würde auch Binomialverteilung weniger Sinn machen 
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