Linearkombination von Vektoren |
30.11.2010, 16:48 | tkthirdteen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Linearkombination von Vektoren Im Standartvektorraum V = Q^3 über Q seien die folgenden Vektoren gegeben: V1 (2,1,0) , V2 (3,2,0) , V3 (5,2,1) a) Stellen Sie die Vektoren e1 (1,0,0) , e2 (0,1,0) und e3 (0,0,1) als Linearkombination der Vektoren V1, V2, V3 dar. b) Zeigen Sie, dass ( V1, V2, V3) eine Basis von V ist. Meine Ideen: Meine Lösung zu a) V1 = 2*e1 + 1*e2 + 0*e3 V2 = 3*e1 + 2*e2 + 0*e3 V3 = 5*e1 + 2*e2 + 1*e3 Meine Frage zu a: Muss ich das noch ausrechnen oder ist das jetzt schon die Lösung? Meine Lösung zu b) Durch die Linearkombination habe ich ja eine Abbildung erzeugt. Q^3 = Q -> Q Die Identität und eine Bijektion sind ja damit gezeigt. Daher ist ja (V1, V2, V3) eine Basis von Q, die Standartbasis. Meine Frage zu b: Reicht das als Antwort für "zeigen Sie" oder muss das ein richtiger Beweis sein und wenn ja wie muss ich denn daran gehen? LG Tina |
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30.11.2010, 17:42 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Linearkombination ist keine Abbildung. Du musst zeigen das du jeden Vektor aus als LK von darstellen kannst, und das die LK des Nullvektor nur die triviale Lösung hat. |
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30.11.2010, 19:52 | tkthirdteen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also meine Lösungen für a) sehen folgendermaßen aus: Daraus ergibt sich: a=2, b=1, c=0 a=3, b=2, c=0 a=5, b=2, c=1 sowie mit dem Nullvektor: a=0, b=0, c=0 Die ersten 3 Matrizen sind damit also meine Linearkombination? Gehört die Lösung mit dem Nullvektor zu a oder zu b? LG |
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30.11.2010, 20:43 | tkthirdteen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber wenn das Ergebnis keine Abbildung ist, dann habe ich noch eine Frage: Folgendes haben wir in der Uni aufgeschrieben: - (v1, ... , vn) ist ein Erzeugendensystem von V --> dann ist die Abbildung surjektiv - (v1 , ... , vn) ist linear unabhängig --> dann ist die Abbildung injektiv - (v1 , ... , vn) ist eine Basis von V --> dann ist die Abbildung bijektiv Wenn das Ergebnis keine Abbildung ist, wie soll ich denn dann zeigen, dass es eine Basis ist / d.h. bijektiv? |
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30.11.2010, 21:38 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da wurde doch vorher nochwas definiert? Sowas wie V-->K? zu a)
Das sind deine Linearkombinationen. zu b) Ersetze hier die ersten 3 Vektoren durch deine v1,v2,v3. Du willst ja überprüfen ob v1,v2,v3 linear unabhängig sind. Hattet ihr den Dimensionbegriff schon ? wenn ja bist du fertig denn es ist ja |
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30.11.2010, 22:03 | tkthirdteen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok super ... danke |
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