Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

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CopeCool Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Meine Frage:
Hi Leute,

Also zu aller erst, ich bin begeisterter Leser dieses Forums. Das ist zwar mein erster erstellter Thread, aber dieses Forum hat mir oft aus der Patsche geholfen. Ich muss euch jetzt aber persönlich nerven, da ich einfach nicht weiterkomme.

Die Aufgabe an der ich hänge lautet so:

Seien x,y,z linear unabhängige Vektoren aus dem Vektorraum über dem Körper . Für welche ist folgende Menge M linear unabhängig?



Meine Ideen:
ich hänge total...

x,y und z sind lin. unabh. Das heißt für mich also, dass die linearfaktoren (richtiges Wort?) alle Null sein müssen für

(0,0,0)=(k(1)x) + (k(2)y) + (k(3)z) -> k(1)=k(2)=k(3)=0.

Jetzt muss also

(0,0,0)=(k(1)*(x+(lambda*y))) + (k(2)*(z+(lambda*x))) + (k(3)*(y+(lambda*z))) -> k(1)=k(2)=k(3)=0.

gelten.

Ist mein Ansatz richtig?
Habt Ihr Denkanstöße, Tipps oder ähnliches?

1000 Dank im Vorraus!!!
______________________________

ich habs weiterversucht...

Es gilt ja nach aufgabenstellung:



Es soll gezeigt werden:



jetzt habe ich beides gleichgesetzt:



Ausmultipliziert und vereinfacht:



ich weiss mir fehlt nicht mehr viel.

Ich brauche hilfe traurig
__________________________________

so....

ich hoffe es ist zulässig aus:



das hier zu machen:



weil das überall vorkommt.

Ich komme dann auf das ergebnis, dass für alle reelen Zahlen eingesetzt werden können, da laut Aufgabenstellung x,y,z linear unabhängige Vektoren sind und somit nur die Lösung k(1)=k(2)=k(3)=0 gilt, ist es egal welche werte animmt, *0=0 .




verwirrt richtig?

Edit (mY+): Mehrfachbeiträge zusammengefügt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so nicht ganz. Es gibt einen Fall für , in welchem lineare Abhängigkeit vorliegt und dieser ist demnach auszuschließen.

Warum schreibst du übrigens für den Nullvektor (0, 0, 0)? Es ist ja nicht von die Rede, also über die Dimension keine Aussage getroffen.
Schreibe statt dessen oder einfach 0.
_______________

Die Relation



muss bei linearer Unabhängigkeit ausschließlich eine triviale Relation darstellen.
Der triviale Fall ist natürlich jener, in dem alle sind.
Wegen des Parameters kann es nun eine weitere Bedingung geben, bei welcher - unabhängig von den - lineare Unabhängigkeit eintritt. Um diese zu ermitteln, nehmen wir das Gegenteil, also den Fall der linearen Abhängigkeit an und schließen diesen dann aus.

Wir setzen also voraus und ordnen die Relation



nach den Vektoren x, y, z um:



Da x, y, z linear unabhängig sind, müssen alle Klammerterme nach wie vor gleich Null sein. Nun wird jenes ermittelt, für welches dies (bei allen ) der Fall ist. Dabei wird man erkennen, dass es - zusätzlich zu einer bestimmten Bedingung für die - dafür genau ein bestimmtes Lambda gibt, welches man demgemäß nun auszuschließen hat.

Hinweis: x - y, - x + z, y - z sind linear abhängig.

mY+
CopeCool Auf diesen Beitrag antworten »

ok... gibt es sonst noch etwas?

ist es jetzt richtig/falsch/teilweise...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch gesehen, dass der Beitrag noch editiert wird.
Jetzt kannst du diesen vollständig lesen.

mY+
CopeCool Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich habe auch erstmal gewartet, aber es wurde mir auf deinem profil angezeigt, dass du offline bist.


1000 dank, an diesen speziellen fall habe ich gar nicht gedacht. ich finde das sehr löblich mit welcher genauigkeit und geduld die fragen beantwortet werden.

ich will nun selber in diesem forum mitwirken und mein bestes geben, anderen zu helfen.



schade, dass dieses forum kein "Danke"-Knopf für die einzelnen Mitglieder hat.


LG an alle!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Dank nehmen wir alle gerne entgegen! Big Laugh

Kannst du nun die Lösung für angeben, bzw. wie man darauf kommt?

mY+
 
 
CopeCool Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schlage ein lineare Gleichungsystem der Form



vor.


(am editieren und lösen)
CopeCool Auf diesen Beitrag antworten »

Gott Doppelpost, da ich zu lange zum editieren gebraucht habe...

Ich schlage ein lineare Gleichungsystem der Form



vor.


doch jetzt merke ich wie blöd das doch ist:




sieht komisch aus, ich hab aber weitergerechnet:


eingesetzt in die zweite zeile:

und diese wiederum in die dritte ergibt:



->




also zum verständnis:

M ist lin unabh. für alle ausser , da in diesem Fall alle k_j nicht Null sein müssten?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt genau so! smile

Für k1 = k2 = k3 (ungleich Null) ist

Du kannst sogleich die Probe machen, indem du dieses mit k1 = k2 = k3 = 1 einsetzt:
Dabei erhalten wir

(x - y)*1 + (- x + z)*1 + (y - z)*1 = 0

Somit sind in diesem Falle die drei Ausgangsvektoren linear abhängig.

mY+
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