Zufallsvariable: Notation

30.11.2010, 18:50

tauberheli

Zufallsvariable: Notation

Ich sehe gelegentlich die Notation

$\begin{eqnarray*} P(X = x_i) \end{eqnarray*}$

und verstehe nicht ganz den Unterschied zu dem einfachen

$\begin{eqnarray*} P(X). \end{eqnarray*}$

Ist es einfach nur eine Spitzfindigkeit oder gibt es Situationen in denen die "einfache" Notation P(X) tatsächlich falsch wäre?

30.11.2010, 18:57

René Gruber

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$\begin{eqnarray*} P(X = x_i) \end{eqnarray*}$ kennzeichnet eine spezielle Wahrscheinlichkeit, eben jene, dass die Zufallsgröße den Wert $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ annimmt.

Unter $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ versteht man gewöhnlich das gesamte Verteilungsmaß der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , es ist also keine "einfache Notation".

30.11.2010, 19:48

tauberheli

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Wenn ich Deine Argumentation, die Du für eine Zufallsvariable verwendest, auch für eine nicht-stochastische Funktion verwenden würde, dann würde ich

für die gesamte Funktion schreiben:

$\begin{eqnarray*} f_{(x)} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich ausdrücken möchte, dass ein spezieller Wert x angenommen wird, würde ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} f_{(x = x_{i})} \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich eine widersinnige Notation für Funktionen außerhalb der Stochastik. Aber kannst Du meinem Gedankengang folgen? Ich habe noch nicht verstanden, warum man bei einer Zufallsvariablen zwei verschiedene Notationen praktiziert.

Bitte um einen weiteren Erklärungsversuch!

30.11.2010, 21:13

tauberheli

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Da ich wenig Antworten bekomme, formuliere ich meine Frage anders:

Gibt es Aufgabenstellungen, bei denen die Notation $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} P(X = x_i) \end{eqnarray*}$

explizit falsch wäre?

01.12.2010, 07:23

René Gruber

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Zitat:

Original von tauberheli
Das ist natürlich eine widersinnige Notation für Funktionen außerhalb der Stochastik.

Was willst du mit einer untauglichen Analogie beweisen? unglücklich

Es ist doch ohne viel Überlegen klar, dass ein Symbol wie $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ gar nicht $\begin{eqnarray*} P(X=x_i) \end{eqnarray*}$ adequat ersetzen kann: Nehmen wir $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=2 \end{eqnarray*}$ , dann ist bei dir $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ dasselbe wie $\begin{eqnarray*} P(X=1) \end{eqnarray*}$ und außerdem aber auch dasselbe wie $\begin{eqnarray*} P(X=2) \end{eqnarray*}$ ??? Erstaunt1

Ansonsten: Wenn du meine Erklärung des üblichen Symbolverständnisses nicht akzeptierst und unbeirrt bei deiner Interpretation bleiben willst, dann soll es eben so sein. Aber deine Missionierungsversuche kannst du zumindest bei mir bleiben lassen, dazu habe ich viel zuviel Erfahrung in Stochastik (über 25 Jahre). Wink

01.12.2010, 10:04

Math1986

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@tauberheli: P(X) bezeichnet das durch X induzierte Wmaß

$\begin{eqnarray*} P(X)(A)=P\left(X\in A\right) \end{eqnarray*}$

Man kann seigen, dass dies in der Tat ein Wmaß ist.

01.12.2010, 13:33

tauberheli

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@ René

Ich habe keinesfalls Deine Kompetenz in Stochastik angezweifelt. Ich hab nur Deine Antwort nicht verstanden.

01.12.2010, 13:40

tauberheli

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@ Math1986

Liegt die Erklärung für die Notation $\begin{eqnarray*} X = x_i \end{eqnarray*}$ in der Maßtheorie? Maßtheorie hatte ich leider noch nicht...

Kannst Du mir einen Bezug von $\begin{eqnarray*} P(X)(A) = P(X \in A) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} X = x_i \end{eqnarray*}$ herstellen?

Wäre super! Danke!

01.12.2010, 13:42

René Gruber

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Der Zusammenhang ist $\begin{eqnarray*} A=\{x_i\} \end{eqnarray*}$ , denn das Ereignis $\begin{eqnarray*} X=x_i \end{eqnarray*}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} X\in\{x_i\} \end{eqnarray*}$ und somit auch

$\begin{eqnarray*} P(X=x_i) = P(X\in\{x_i\}) \end{eqnarray*}$ .

01.12.2010, 14:09

wisili

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In diesem Zusammenhang darf man schon einmal Grundsätzliches sagen:

Mathematik hat ein historisch gewachsenes Begriffsgebäude ohne jede Kontrollinstanz.
Dieses ist keineswegs logisch aufgebaut, manchmal geradezu verwirrend inkonsistent.

P(E) wird etwa gebraucht für die W'keit eines Ereignisses E; E ist dann also eine Menge.
P(X) ist offenbar (s. oben) die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X.
P(X<x) ist die W'Keit jenes Ereignisses, das durch die Aussageform «X<x» umschrieben wird.

f(x) beweichnet den Wert der Funktion f an der Stelle x, x ist immer ein Element des Definitionsbereiches von f. Aber nicht bei der W'keitsfunktion P ...

Der Mathematik-Anfänger muss über diese Missstände (ich behaupte ja nicht, sie seien vermeidbar) informiert sein.
Er muss wissen, dass «Mathematik» keineswegs ein «stimmiges» System ist, und dass man einen nicht unwesentlichen Teil seiner Energie zum Verstehen von Mathematik wegen dieser Unzulänglichkeiten einsetzt.

01.12.2010, 16:27

René Gruber

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Vermutlich ist auch nicht jedem Anfänger klar, dass die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} X\in A \end{eqnarray*}$ nur eine Kurzform der Ereignismenge

$\begin{eqnarray*} \left\{ \omega\in\Omega \bigm| X(\omega) \in A \right\} \end{eqnarray*}$

ist, analog dann für $\begin{eqnarray*} X=x_i \end{eqnarray*}$ . D.h., mit diesen Ergänzungen ist das Begriffssystem in sich weitgehend konsistent: $\begin{eqnarray*} P(E) \end{eqnarray*}$ bezeichnet dann stets die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, egal ob nun $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ direkt aus der Sigma-Algebra von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ stammt, oder eben indirekt über eine der obigen Kurzformen $\begin{eqnarray*} X\in A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X=x_i \end{eqnarray*}$ o.ä.

"Weitgehend" heißt aber, wie wir gesehen haben, nicht immer: $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ fällt im direkten Sinne aus diesem Begriffsrahmen, wie von Math1986 oder mir oben erklärt. Ich bevorzuge aus diesen Gründen für das Verteilungsmaß auch eher die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

01.12.2010, 16:37

Math1986

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Logisch konsistent ist auch die Definition

$\begin{eqnarray*} P(X)(A)\colon=\left(P\circ X^{-1}\right)\left(A\right)=P\left(X^{-1}\left(A\right)\right) \end{eqnarray*}$

01.12.2010, 16:42

René Gruber

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Schon, aber $\begin{eqnarray*} P(\cdot) \end{eqnarray*}$ bedeutet hier dann eben keinen direkten Wahrscheinlichkeitswert, sondern ein ganzes Maß - das meine ich mit Inkonsistenz. Natürlich merkt man am Typ des Arguments, was jeweils gemeint ist, aber den Anfänger kann es schon verwirren. Augenzwinkern

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