Orthonormalsystem Koordinaten angeben

30.11.2010, 20:59	Lala-Lu	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalsystem Koordinaten angeben Gilt die Formel <h1e1+h2e2+...+hnen, e1>=<b,e1> nur in einem Orthonormalsystem oder für jede Basis? <a, b>: Skalarprodukt von a und b (falls diese Schreibweise hier nicht geläufig ist) h1,...,hn: Lambda e1,...,en: Basisvektoren b: Darzustellender Winkel im Orthonormalsystem Woraus sich ja schlussfolgert: h1 = <b, e1>/<e1, e1> So hab ich diese Aufgabe gelöst und mich eben gefragt ob dieser Ansatz auch für jede beliebige Basis gültig wäre. Weil mein Problem war das die Basisvektoren sin und cos enthalten, so gelang es mir nicht ohne weiteres ein Gleichungssystem zu lösen. Vielleicht könnt ihr auch hierzu etwas sagen, was mir für die Zukunft weiterhilft. Die Vektoren sind e1 = (-sin70, cos70, 0), e2 = (-cos70sin60, -sin70sin60, cos60), e3 = (cos70cos60, sin70*cos60, sin60) sin60 und cos60 sind "schöne" Werte, aber mit 70° lässt sich nicht viel anstellen und Runden kam für mich nicht in Frage. Danke im Voraus.
01.12.2010, 09:47	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen, ein Vektor $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ wird bezüglich der (orthonormalen) Standartdbasis $\begin{eqnarray} \vec e_1, \vec e_2,...,\vec e_n \end{eqnarray}$ dargestellt, also $\begin{eqnarray} \vec b=\lambda_1\vec e_1+\lambda_2\vec e_2+...+\lambda_n\vec e_n \end{eqnarray}$ Dann ergibt skalare Multiplikation mit einem beliebigen Basisvektor $\begin{eqnarray} \vec e_k \end{eqnarray}$ wegen der Orthonormaität der Basisvektoren $\begin{eqnarray} \vec b\cdot \vec e_k=\lambda_k \end{eqnarray}$ Also ist die Größe $\begin{eqnarray} \lambda_k\cdot \|\vec b\| \end{eqnarray}$ der Kosinus des Winkels zwischen $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec e_k \end{eqnarray}$ Stellt man denselben Vektor $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ bezüglich einer beliebigen "schiefe" Basis $\begin{eqnarray} \vec b_1, \vec b_2,...,\vec b_n \end{eqnarray}$ dar, erhält man: $\begin{eqnarray} \vec b=\lambda_1\vec b_1+\lambda_2\vec b_2+...+\lambda_n\vec b_n \end{eqnarray}$ Nun multiplizieren wir diese Gleichung nacheinander mit jedem einzelnen Basisvektor $\begin{eqnarray} \vec b_1, \vec b_2,...,\vec b_n \end{eqnarray}$ . Das ergibt folgendes Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \vec b \cdot \vec b_1 \\ ... \\ \vec b \cdot \vec b_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \vec b_1 \cdot \vec b_1 & ... & \vec b_n \cdot \vec b_1 \\ ... & ... & ... \\ \vec b_1 \cdot \vec b_n & ... & \vec b_n \cdot \vec b_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ ... \\ \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Matrixelemente $\begin{eqnarray} \vec b_i \cdot \vec b_i \end{eqnarray}$ stehen gemäß der Definition des Skalarproduktes in folgendem Zusammenhang mit Winkeln zwischen den Basisvektoren $\begin{eqnarray} \cos(\phi_{ij})=\frac{\vec b_i\cdot \vec b_j}{\|\vec b_i\|\cdot \|\vec b_j\|} \end{eqnarray}$ Die linke Seite $\begin{eqnarray} \vec b \cdot \vec b_k \end{eqnarray}$ des obigen Gleichungssystem steht dann in folgendem Zusammenhang mit Winkeln zwischen den Basisvektoren und dem Vektor $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(\theta_{k})=\frac{\vec b \cdot \vec b_k}{\|\vec b\|\cdot \|\vec b_k\|} \end{eqnarray}$

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