Verschoben! verschiedene Berechnungen am gleichm. Tetraeder mithilfe d. Vektorr.

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Artischocke Auf diesen Beitrag antworten »
verschiedene Berechnungen am gleichm. Tetraeder mithilfe d. Vektorr.
Erstmal Hallo an alle.


Folgende Aufgabenstellung ist gegeben:

regelmäßiger Tetraeder mit der Kantenlänge a,
eine Kante liege auf der x-Achse und die Grundfläche in der x-y-Ebene.

1) für alle Seitenflächen sind die Ebenengleichungen aufzustellen
2) mit den Mitteln der Vektorrechnung beweisen das,

a) der Winkel zwischen 2 benachbarten Seitenflächen ~70,5° beträgt
b) der Winkel zwischen einer Kante und der gegenüberliegenden Seitenfläche ~54,7°beträgt
c) die Winkel zwischen 2 vom Tetraedermittelpunkt zu jeweils 2 Ecken abgehenden Geraden ~109,5° beträgt

Für die Seiten=Vktrn. habe ich den Betrag 1 gewählt.
(Ist es notwendig einen Betrag zu wählen oder kann man die Aufgabe auch allgemein ohne Zahlenwerte lösen?)

A ist (0,0,0), B (1,0,0) und Punkt C (1/2,√3,0)
Punkt A, B habe ich wie gefordert auf die x-Achse gelegt und mithilfe der Höhe des gleichseitigen Dreiecks C ermittelt
Nun könnte ich die Ebenengleichung der Grundfläche aufstellen oder ?
Wie ich zu den anderen Gleichungen komme weiß ich leider nicht.





Leider hatte ich das letzte mal die Kosinus- Sinus- und (Tangens???)-sätze, bei denen ich denke Sie sind unabdingbar zum lösen dieser Aufgabe vor
ca. 10 Jahren und kann damit sehr wenig bis garnichts anfangen. Deshalb würde ich fragen ob jemand einen Link kennt indem anschaulich und mit Übungsaufgaben
erklärt wird wie ich mit diesen sehr häufig auftretenden Sätzen sachbezogen rechnen kann.

mfG Arti
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du wirst ja hoffentlich nicht die Ebenengleichung für aufstellen wollen. Denn das ist ja die -Ebene, also .

Wenn es nur darum geht, die Winkel zu berechnen, darfst du in der Tat wählen. Denn alle regulären Tetraeder sind ähnlich.
Du hast folgende Wahlen getroffen:



Die zweite Koordinate von kann man in deinem Beitrag nicht lesen, aber ich hoffe, daß sie mit meinem Vorschlag übereinstimmt.

Die vierte Ecke des Tetraeders muß aus Symmetriegründen senkrecht über der Mitte des Grunddreiecks liegen. Da dieses gleichseitig ist, fallen Mittelsenkrechte, Höhen, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende zusammen. ist also zugleich der Schwerpunkt von . Für die Ortsvektoren von gilt daher



So bekommst du die Koordinaten von . Und muß in den ersten beiden Koordinaten mit übereinstimmen. Für die dritte Koordinate nimmst du eine Variable . So hast du für den Ansatz



Und jetzt kennst du ja auch noch die Länge der Kante . Damit kannst du das fehlende berechnen. Von der Anschauung her gibt es zwei Möglichkeiten für . Bei einer liegt "oberhalb" von , bei der anderen "unterhalb" von .

Und nun kannst du alle gewünschten Geraden- oder Ebenengleichungen aufstellen.
 
 
Artischocke Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstmal für deine Antwort.

H habe ich jetzt mit ermittelt und wollte jetzt den Betrag von z bzw die Höhe des Tetraeders (und die z-Koordinate von D) bestimmen komme aber leider aufgrund von mangelnden Kenntnisse der Potenz bzw. Wurzelgesetze nicht weiter. Desweiteren möchte ich nicht die ganze Zeit eine Dezimalzahl in der Rechnung behalten bzw damit weiterrechnen.

So sieht die Formel zur Zeit aus :

und ich kann (auch wenn es ein wenig peinlich ist )die Klammer nicht so vereinfachen das ich ein "schönes Ergebnis bekomme.

mfG Arti
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