Lineare abhängigkeit der menge

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Theta Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare abhängigkeit der menge
Meine Frage:
Mahlzeit, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
Sei V ein -Vektorraum mit und linear unabhängig.
Zeigen Sie, dass dann auch mit
, für linear unabhängig ist. Bleibt diese Aussage richtig, wenn man durch
ersetzt?

Meine Ideen:
Nun ich denke wir haben zwei Möglichkeiten:
1. Da die Menge linear unabhängig ist, zeigen wir (wir setzen natürlich die obere Def. für w ein, hab ich hier zwar noch nicht gemacht, wollt aber erst wissen ob meine Idee richtig is)
2. könnten wir es durch einen Wiederspruch beweisen, in dem wir die Faktoren vorden Vektoren weglassen, im Detail habe ich das noch nicht gemacht, wollt aber erst wissen ob die Idee richtig is.
Zur 2. Frage mit habe ich leider noch keine Idee, aber ich wette die Antwort ist nein (is in den meisten Fällen so bei solchen Fragen).
Danke Schonmal
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe keinen Vortel eines Widerspruchsbeweises. Setzt wie geplant mit an und forme dies in die Form um.
Dann gilt . In folgt daraus , in hingegen nicht. An der Stelle wirst du recht schnell auf ein Gegenbeispiel kommen.
(Der wesentliche Unterschied ist die Charakteristik der beiden Körper!)
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »




Hab das bis jetz so umgeformt

wird nur dann 0 wenn ist da die linear unabhängig sind.

Zu fällt mir kein Gegenbeispiel ein.
Es kann zwar sein obwohl die sind. Aber dann ist

Könnt hier auch noch ein Tipp gebrauchen.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Der Tipp ist, mach erstmal den Fall ist -Vektorraum ordentlich.
Das, was du das aufgeschrieben hast, ist nicht nachvollziebar.

Du hast gegeben. Warum folgt daraus, dass gilt?
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »


Ich betrachte zuerst :





In den Klammern habe ich jetzt jeweils Linearkombinationen linear unabhängiger Vektoren, die nur dann zum Nullvektor kombiniert werden können wenn
sind.
dann betrachte ich:



Das auch eine Linearkombination linear unabhängiger Vektoren ist. Es gilt also das selbe wie oben.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In den Klammern habe ich jetzt jeweils Linearkombinationen linear unabhängiger Vektoren, die nur dann zum Nullvektor kombiniert werden können wenn sind.

Das ist richtig, nützt nur nichts! Nirgendwo steht, dass die Summen, die in den Klammern stehen, gleich sind.
Du weißt nur, dass gilt.

----
Du wirst wohl nicht 'drum herum kommen, die Gleichung durch ensprechende Umformungen als zu schreiben.
 
 
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Das muss ich mir ja dann irgendwie definieren.




Dann definiere ich
Und habe dann
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Warum folgt nun im Falle eines -Vektorraums?
Tipp:
Wie kann man umschreiben?
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Den Tipp verstehe ich nicht
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Setzt die Definition ein.
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann dreh ich mich doch im Kreis ich hatte ja schon:




Dann auf die andere Seite bringen ?:


Ich versteh nicht worauf du hinaus willst
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Setzt es doch einfach ein!

Du erhälst und damit .
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hast du dann gezeigt das?
Oder das du auch durch ersetzen kannst ?

Oder beides ich verstehe diesen Schritt immer noch nicht.
Du setzt 2 unterschiedliche(?) skalare gleich um zu zeigen das die sich nur durch unterscheiden?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Damit hast du dann gezeigt das?

Ja.

Zitat:
Oder das du auch durch ersetzen kannst ?

Was heißt ersetzen? Es ist i.A. !

Zitat:
Oder beides ich verstehe diesen Schritt immer noch nicht.

Gezeigt wird .
Die Umforumg selbst ist Grundschulmathematik.
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Es folgt in dann das
Da und somit nur dann wenn sind.

Das Problem mit ist dann folgendes:
Es gilt zwar weiterhin aber kann auch dann 0 werden wenn , und zwar dann wenn ich ein ungerades n habe.

Beispiel n=3


Muss ich natürlich alles noch schön aufschreiben
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Bemerkenswert ist, dass für ungerades im Fall die Menge niemals linear unabhängig ist.
Der Grund ist, dass stets ist.
Wenn man also ein konkretes Gegenbeispiel sucht, hat man frei Auswahl bei der Wahl der Vektoren.

Für gerade dürfte die Aussage hingegen auch in stimmen.
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Da kann man dann ja mit der Charakteristik argumentieren:
ich weiss das dann setze ich
Dann kann ich mein auch so schreiben
Gilt: (also n gerade) muss sein ansonsten ist
Gilt: (also n ungerade) ist für und

Besten Dank
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry aber das mit der Charakteristik habe ich echt nicht verstanden verwirrt
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, in gilt doch . Mit anderen Worten die Charakteristik des Körpers ist . Es folgt sofort, dass eine gerade Anzahl von Einsen aufsummiert ergibt.
In ist das nicht der Fall. Die Charakteristik ist .
Für die Aufgabe ist das relevant, da man in jedem Fall weiß, dass gilt und außerdem, dass ist.
Die Frage ist also, ob die Gleichung nur die Lösung oder auch die Lösung besitzt.
In ist nur eine Lösung. In hängt das davon ab, ob (die Charakteristik) ein Teiler von (der Zahl der Summanden) ist. Falls ja, also ungerade ist, so ist auch eine Lösung.

edit:
Die Elemente in sind Äquivalenzklassen. Möglicherweise ist es zum Verständnis hilfreich, wenn du diese entsprechend kennzeichnest. Mir ist das zu umständlich.
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