Mittelwertsatz der Differentialgleichung

30.11.2010, 23:35

metriod

Mittelwertsatz der Differentialgleichung

Hallo Matheboard!

Erneut eine Frage zur Aufgabe:

Belegen Sie die Gültigkeit der Ungleichung
$\begin{eqnarray*} 2a-\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ < 2b $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ für 0 < a < b

Anleitung: Wenden Sie den Mittelwertsatz auf $\begin{eqnarray*} f(x)=x-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ über den Intervall [a,b] an. Uberlegen Sie sich, dass der Mittelwertsatz tatsächlich angewendet werden darf.

Ich brauche bitte einen Ansatz dafür, wie ich den Mittelwertsatz auf f(x) anwende.

Danke!

30.11.2010, 23:52

lgrizu

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RE: Mittelwertsatz der Differentialgleichung
Zuerst einmal die einfachere Frage:

Warum darf der Mittelwertsatz angewendet werden?

Wie lautet der Mittelwertsatz der Differentialrechnung?

01.12.2010, 00:11

metriod

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Hallo Igrizu,

danke erstmal für die Antwort zur späten Stunde.

1. Der Mittelwertsatz darf angewandt werden, weil die Funktion per Definition stetig und differenzierbar ist?

2. Es sei $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] (mit a < b) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion f im offenen Intervall (a,b) differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in (a,b) \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} \end{eqnarray*}$

gilt.

01.12.2010, 00:23

lgrizu

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Zitat:

Original von metriod
Hallo Igrizu,

danke erstmal für die Antwort zur späten Stunde.

1. Der Mittelwertsatz darf angewandt werden, weil die Funktion per Definition stetig und differenzierbar ist?

Ist die Funktion tatsächlich auf jedem beliebigen Intervall stetig?
...Sie hat doch in x=0 eine Unstetigkeitsstelle, also sollte hier noch hinzugefügt werden, dass sie stetig ist auf jedem Intervall [a,b] ist mit $\begin{eqnarray*} 0 \notin [a,b] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von metriod
2. Es sei $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] (mit a < b) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion f im offenen Intervall (a,b) differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in (a,b) \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} \end{eqnarray*}$

gilt.

Okay, das ist korrekt.

Nun setze die Funktion einmal in den Mittelwertsatz ein und forme etwas um.

edit: ich habs mal in Hochschulmathe verschoben Augenzwinkern

01.12.2010, 00:53

metriod

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Bin nicht sicher, ob ich verstanden habe und trotz längerer Suche habe ich keine Beispiele zum Mittelwertsatz im Netz gefunden ...

$\begin{eqnarray*} f'\left(x_0\right)= \frac{ b-\frac{1}{b} -a + \frac{1}{a}}{b-a} \end{eqnarray*}$
Simmt der Ansatz?

01.12.2010, 00:56

lgrizu

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Zitat:

Original von metriod
Bin nicht sicher, ob ich verstanden habe und trotz längerer Suche habe ich keine Beispiele zum Mittelwertsatz im Netz gefunden ...

$\begin{eqnarray*} f'\left(x_0\right)= \frac{ b-\frac{1}{b} -a + \frac{1}{a}}{b-a} \end{eqnarray*}$
Simmt der Ansatz?

ich würde das der Übersichtlichkeit halber einmal so stehen lassen:

$\begin{eqnarray*} f'\left(x_0\right)= \frac{ b-\frac{1}{b} -(a - \frac{1}{a})}{b-a} \end{eqnarray*}$ .

Aber ansonsten richtig.

Jetzt schau mal, dass alles mit b auf eine Seite der Gleichung kommt und mit a auf die andere Seite.

Nebenbei kannst du noch f'(x) nach oben abschätzen, dann haben wir auch schon alles was wir brauchen und müssen nur noch ein wenig argumentieren.

01.12.2010, 09:27

metriod

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$\begin{eqnarray*} -b^2+1=\frac{-a^2+1}{-a^2} \end{eqnarray*}$ .
Kann das hinkommen?

Woran kann/soll ich f'(x) abschätzen?

01.12.2010, 09:49

lgrizu

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Zitat:

Original von metriod
$\begin{eqnarray*} -b^2+1=\frac{-a^2+1}{-a^2} \end{eqnarray*}$ .
Kann das hinkommen?

Nein, es kommen keine Quadrate vor und wo ist dein f'(x_0) hin gekommen?

multipliziere die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f'\left(x_0\right)= \frac{ b-\frac{1}{b} -(a - \frac{1}{a})}{b-a} \end{eqnarray*}$ zuerst einmal mit (b-a)

Zitat:

Original von metriod
Woran kann/soll ich f'(x) abschätzen?

Bilde doch einmal die Ableitung, dann siehst du es vielleicht Augenzwinkern

01.12.2010, 11:36

metriod

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$\begin{eqnarray*} f'\left(x_0\right) *(b-a)= b-\frac{1}{b} -(a - \frac{1}{a}) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von f'(x) = 1 - (-1/x^2)?

01.12.2010, 17:06

lgrizu

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Zitat:

Original von metriod
$\begin{eqnarray*} f'\left(x_0\right) *(b-a)= b-\frac{1}{b} -(a - \frac{1}{a}) \end{eqnarray*}$

Jetzt lös links die klammer auf und bringe alles, was a enthält auf die eine Seite, alles, was b enthält auf die andere Seite der Gleichung

Zitat:

Original von metriod
Die Ableitung von f'(x) = 1 - (-1/x^2)?

genau, und es ist $\begin{eqnarray*} f'(x)>1 \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also kann man f'(x) durch 1 nach unten abschätzen.

So, nun bist du aber mal nen bisschen dran, ich kann dir nicht alles vorkauen Augenzwinkern

09.01.2011, 16:23

Lentio

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Hallo!

Der Beitrag ist zwar ein wenig älter, aber mich würde die Lösung zu diesem Problem auch sehr interessieren. Schlage mich gerade selber mit dem Mittelwertsatz rum von dem ich echt kp habe unglücklich

Also nach der Abschätzung nach oben und dem Umformen kommt doch 1/b=1/a heraus. Geht das denn überhaupt? Es gilt doch 0<a<b.....

09.01.2011, 18:53

lgrizu

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Es steht doch schon fast alles da was man braucht.

Was hast du denn bisher gerechnet, mach das mal vor.

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Mittelwertsatz der Differentialgleichung

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