Frage zu einer Aufgabe über lineare Abbildungen

30.11.2010, 23:58

_-Alex-_

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Frage zu einer Aufgabe über lineare Abbildungen

Hi,

also ich habe hier folgende Aufgabe:
Gegeben seien
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -4 & -1 \\ 1 & 5 & 5 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
betrachten wir die Abbildung
$\begin{eqnarray*} \Phi_A : \mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}^3 , x \longrightarrow Ax \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$ injektiv, surjektiv? Bestimmen sie ggf. eine Basis des Kerns, des Bilds von $\begin{eqnarray*} \Phi_A \end{eqnarray*}$

Also ich weiß jetzt nicht was mit der Basis des Kerns des Bildes gemeint ist.
Ich hab bisher mir folgendes überlegt.
Eine Abbildung ist ja injektiv, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} ker \Phi_A = \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$
D.h. nur für x=0 wird mein Bild 0.
Ich hab jetzt also aus meiner Matrix A ein homogenes Gleichungssystem gemacht. Da ich ja mehr Spalten als Zeilen habe, habe ich gesagt, es gibt auf jeden Fall mehr Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ als den Nullvektor, für die das Gleichungssystem gelöst ist. Somit habe ich ja mehr als nur die 0 in meinem Kern. Und daher habe ich gesagt, dass sie nicht injektiv ist.
Bei der Surjektivität bin ich jetzt so vorgegangen, dass ich mir wieder mein Gleichungssystem gemacht habe. Das habe ich wieder zu einem homogenen gemacht, also um zu schauen, ob meine 4 Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ die ich mir ja aus A machen kann unabhängig sind.
Da es ja 4 sind und ich das schon oben gezeigt, habe habe ich einen weggelassen. Diese 3 waren dann wieder linear abhängig. Also habe ich ja nur 2 unabhängige, die reichen nicht um meinen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ aufzuspannen. Also ist meine Abbildung auch nicht surjektiv.

Kann ich das so machen?

MfG

01.12.2010, 00:03

Iorek

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Es mag vllt. auch ein klein wenig an der Uhrzeit liegen, aber so ganz kann ich deinen Ausführungen nicht folgen, deine Begründung zur Surjektivität ist ein wenig gewagt Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Die Ideen die dahinter stecken sind aber durchaus richtig, ich würde dir unseren [Artikel] Basis, Bild und Kern empfehlen. smile

smile

Ich kann noch bestätigen, dass die Abbildung weder injektiv noch surjektiv ist.

01.12.2010, 10:41

_-Alex-_

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Okay also ich komm ja schon mal auf das gleiche Ergebnis^^.
Hab mir das mal durchgelesen und die Injektivität habe ich ja genau so wie dort beschrieben widerlegt.
Bei der Surjektivität bin ich aber irgendwie anders vorgegangen, habe ja z.B. keine transponierte Matrix gemacht.

Also ich versuch noch einmal meine Vorgehenswiese zu erklären, ob die auch richtig ist. Ich möchte ja schauen, ob die Abbildung ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ erzeugt. Dafür brauch ich ja eigentlich nur 3 Vektoren, also 3 Spalten aus meiner Matrix. Da ich ja 4 habe, habe ich mir gedacht, ist ein Vektor auf jeden Fall erst einmal überflüssig, nachdem ich einen weggelassen habe, habe ich dann die 3 auf lineare Unabhängigkeit geprüft. Da auch diese 3 wieder abhängig waren, konnte ich ja wieder einen wegnehmen, wobei ich dann ja nur 2 hatte. Und 2 erzeugen mir niemals den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Also habe ich gesagt, das die Abbildung nicht surjektiv ist.

01.12.2010, 10:50

Iorek

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Zitat:

Original von _-Alex-_
Da ich ja 4 habe, habe ich mir gedacht, ist ein Vektor auf jeden Fall erst einmal überflüssig

Da wäre ich sehr vorsichtig.

Betrachte z.B. die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für deine Abbildung.

Wenn wir jetzt einfach sagen, dass wir nur 3 Vektoren brauchen und einfach mal die letzte Spalte weglassen, erhalten wir $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , diese 3 Vektoren sind offensichtlich nicht linear unabhängig und man würde mit deiner Argumentation als Basis für das Bild $\begin{eqnarray*} \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ erhalten, die Abbildung also nicht surjektiv. Die Abbildung ist aber surjektiv, somit ist deine Argumentation falsch.

01.12.2010, 11:37

_-Alex-_

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Achja, stimmt. Das Problem hatte ich schon einmal^^.

Muss ich nochmal überlegen.

01.12.2010, 11:37

Iorek

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Nimm einfach die transponierte Matrix und wende den Gaußalgorithmus auf sie an, das tuts. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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01.12.2010, 15:34

_-Alex-_

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Ich hatte damit immer ein Problem das anzuwenden, weil ich nicht wusste woher das kommt, also wieso das dann stimmt das Ergebnis. Irgendwie hatten wir das noch nicht.
Ich hab mir des jetzt mal überlegt und mir zunächst mal eine Begründung dafür gesucht.
Also wenn ich die transponierte Matrix zu A habe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &-2 & 1 \\ -1 & -1 & 5 \\ 1 & -4 & 5 \\1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und diese nun umforme, ist das ja im Grund doch nur der Test, ob ich einen der 4 Vektoren durch die anderen ausdrücken kann. Also ob sie abhängig sind.
Kann man das so sagen?

Ich bin jetzt dann auf das Ergebnis gekommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &-2&1\\0 &-3&6\\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heißt doch jetzt, dass ich die 4 Vektoren aus A alle durch $\begin{eqnarray*} \begin {pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \phantom{x} und \phantom{x} \begin {pmatrix} 0 \\ -3 \\6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linearkombinieren kann. Also spannen alle 4 niemals den R3 auf.

01.12.2010, 15:39

Iorek

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Zitat:

Original von tigerbine

Bild

Ginge es nur um ein Erzeugendensystem, so könnte man direkt die Spalten von M nehmen, sind dies doch die Bilder der Basisvektoren von V.

Da ist die Begründung für das Vorgehen.

$\begin{eqnarray*} \dim(\operatorname{Bild}(f))=2 \end{eqnarray*}$ stimmt auch, also ist die Abbildung nicht surjektiv.

01.12.2010, 22:17

_-Alex-_

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Meine Begründung war mehr dafür, warum man das überhaupt macht mit den transponierten Matrizen. Weil das habich schon öfters hier gehört, wusste aber nie warum man das machen kann usw. Hab davon in der Vorlesung noch nichts weiter von gehört.

01.12.2010, 22:22

Iorek

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Die transponierte Matrix ist nur ein Hilfsmittel.

Im Prinzip untersuchst du das Erzeugendensysten, das aus den Spalten der Matrix besteht auf lineare Unabhängigkeit. Und üblicherweise schreibt man sich die Vektoren dann zeilenweise in eine Matrix und lässt den Gauß darauf los. Wenn du jetzt die Spaltenvektoren zeilenweise aufschreibst erhältst du gerade die transponierte Matrix.

02.12.2010, 00:11

_-Alex-_

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Okay danke.

Ich hab noch eine andere Abbildung:
$\begin{eqnarray*} \Phi_x : \mathbb{R}^{(m,n)} \longrightarrow \mathbb{R}^m , A \longrightarrow Ax \phantom{xxxxxxxx} mit \phantom{x} x\in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Hiervon soll ich auch das Bild bestimmen. Ist das in dem Fall einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ ?

02.12.2010, 00:18

Iorek

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Gibt es noch weitere Informationen zu der Aufgabe? Ist eine Bedingung an x gestellt?

02.12.2010, 10:20

_-Alex-_

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Nein, nur des x aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist.

Man sollte in einer Aufgabe davor zeigen, dass das eine lineare Abbildung ist. Das habe ich soweit. Nur bei dem Bild bin ich mir nicht ganz sicher. Aber ich finde keinen Grund, weshalb das Bild nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ ist.

02.12.2010, 11:58

Iorek

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Ist der Vektor x fest gewählt? Wie lautet die genaue Aufgabenstellung?

02.12.2010, 15:47

_-Alex-_

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Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .
a) Zeigen sie, dass die Abbildung
$\begin{eqnarray*} \Phi_x : \mathbb{R}^{(m,n)} \longrightarrow \mathbb{R}^m , A \longrightarrow Ax \end{eqnarray*}$
linear ist.
b) Bestimmen sie das Bild von $\begin{eqnarray*} \Phi_x \end{eqnarray*}$ .

02.12.2010, 17:44

Iorek

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Guck mal hier. smile

smile

02.12.2010, 18:07

_-Alex-_

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Ah besten Dank smile

smile

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