Kompositionen

01.12.2010, 11:42

gym

Kompositionen

Meine Frage:
Hallo,
ich stehe bei einer Aufgabe total auf dem Schlauch. ich habe sie schon öfters durchgerechnet, bin aber nie auf das selbe ergebnis gekommen.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)= \frac{1-x}{x} \end{eqnarray*}$

Prüfen Sie (f ° g)(x) sowie (g°f)(x) °=gefolgt von

Meine Ideen:
nun muss doch bei beiden das selbe ergebnis rauskommen, oder? bei mir kommt aber einmal 1/1-x und einmal x raus.

wo liegt denn mein fehler?

(f°g)(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1-x}{x}+1 } = 1 * ( \frac{x}{1-x} + 1) = \frac{x}{1-x} + \frac{1-x}{1-x} = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

(g°f)(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1 - \frac{1}{x+1} }{\frac{1}{x+1} } = (1 - \frac{1}{x+1} )* \frac{x+1}{1} = \frac{x}{x+1} * \frac{x+1}{1} = x \end{eqnarray*}$

Danke für eure Hilfe

01.12.2010, 11:50

Ehos

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ES muss keineswegs allgemein gelten g o f = f o g .

Beispiel:
Sei $\begin{eqnarray*} g(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} g o f=\sin\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} f o g=\sqrt{\sin(x)} \end{eqnarray*}$
Beides ist offenbar verschieden.

PS: In dienem fall kommt aber das Gleiche raus, nämlich in beiden Fällen =x. Du hast dich verrechnet.

01.12.2010, 11:51

Iorek

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Warum muss denn bei beiden das selbe Ergebnis rauskommen? Im Allgemeinen ist die Komposition von Abbildung nicht kommutativ.

In deinem Beispiel gilt aber $\begin{eqnarray*} f\circ g = g\circ f \end{eqnarray*}$ . Wie kommst du von $\begin{eqnarray*} \frac 1{\frac {1-x}x +1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 1\cdot (\frac x{1-x}+1) \end{eqnarray*}$ ? Das ist nämlich falsch.

01.12.2010, 11:52

gym

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ah ich hab was in der angabe vergessen.
sie lautet prüfen sie (f°g)(x) = x sowie (g°f)(x) =x

muss es nun gleich sein oder immer noch nicht? stimmt meine rechnung soweit?

01.12.2010, 11:54

gym

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Zitat:

Original von Iorek
Wie kommst du von $\begin{eqnarray*} \frac 1{\frac {1-x}x +1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 1\cdot (\frac x{1-x}+1) \end{eqnarray*}$ ? Das ist nämlich falsch.

ich hatte den kehrbruch gebildet ...

01.12.2010, 11:55

Iorek

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Dann ist dir da ein Fehler unterlaufen, das ist nämlich nicht der Kehrbruch. Rechne nochmal nach und fasse zuerst den Nenner zusammen.