abzählbar --> überabzählbar

18.11.2006, 00:06

EpseKarl

abzählbar --> überabzählbar

Ich betrachte den Zustandsraum (endlich oder abzählbar) einer MK. Wie kann ich diesen auf den überabzählbaren Fall erweitern?

18.11.2006, 12:52

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Da kommt einiges zusammen:

Sei $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ der überabzählbare Zustandsraum. Statt einzelner Übergangswahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p(i,j) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i,j\in S \end{eqnarray*}$ muss man dann Übergangsmaße betrachten, d.h.

$\begin{eqnarray*} p(i,A) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A\in\mathfrak{S} \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak{S} \end{eqnarray*}$ eine Sigmaalgebra über $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , usw.

Aber vielleicht fragst du mal etwas konkreter, solche Dinge wie die eben kann man auch in Lehrbüchern bzw. zur Not in der Wikipedia nachlesen.

18.11.2006, 14:25

EpseKarl

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Oki, also konkreter:
$\begin{eqnarray*} \{ I_n , n= 0, 1, \ldots \} \end{eqnarray*}$ sei eine MK mit endl. Zustandsraum $\begin{eqnarray*} I = \{ i_o , \ldots, i_N \} \end{eqnarray*}$ und es gilt:
$\begin{eqnarray*} P \left( I_{n+1} = i_t | I_n = i_s , I_{n-1} = I_{t_{n-1}} , \ldots , I_0 = i_{t_0} \right) = P \left( I_{n+1} = i_t | I_n = i_s \right) \end{eqnarray*}$

Ich möchte jetzt diesen Zustandsraum auf den überabzählbaren Fall erweitern. Was ändert sich dabei genau?

Und was muss ich bei

$\begin{eqnarray*} \psi (u, i_s ) = P \left( \bigcup_{k=1}^{\infty} (U_k < 0 ) | I_0 = i_s \right) \end{eqnarray*}$

mit festem $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_k = U_{k-1} (1+ I_k ) - Z_k = u \prod_{j=1}^{k} (1+ I_j ) - \sum_{j=1}^{k} \left( Z_j \prod_{ t = j+1}^{k} (1+ i_t ) \right) \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} k= 1, 2, ... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_0 = u \geq 0 \end{eqnarray*}$ const., $\begin{eqnarray*} Z_k \end{eqnarray*}$ i.i.d. und unabh. von $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ ,

beachten?

18.11.2006, 14:39

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Zitat:

Original von EpseKarl
Oki, also konkreter:
$\begin{eqnarray*} \{ I_n , n= 0, 1, \ldots \} \end{eqnarray*}$ sei eine MK mit endl. Zustandsraum $\begin{eqnarray*} I = \{ i_o , \ldots, i_N \} \end{eqnarray*}$ und es gilt:
$\begin{eqnarray*} P \left( I_{n+1} = i_t | I_n = i_s , I_{n-1} = I_{t_{n-1}} , \ldots , I_0 = i_{t_0} \right) = P \left( I_{n+1} = i_t | I_n = i_s \right) \end{eqnarray*}$

Ich möchte jetzt diesen Zustandsraum auf den überabzählbaren Fall erweitern. Was ändert sich dabei genau?

Das hab ich oben schon geschrieben: Einzelübergangswahrscheinlichkeiten genügen nicht mehr zur Beschreibung, es kommen Maße

$\begin{eqnarray*} P \left( I_{n+1} \in A_t | I_n = i_s , I_{n-1} = I_{t_{n-1}} , \ldots , I_0 = i_{t_0} \right) = P \left( I_{n+1} \in A_t | I_n = i_s \right) \end{eqnarray*}$

zum Einsatz.

Zitat:

Original von EpseKarl
Und was muss ich bei

$\begin{eqnarray*} \psi (u, i_s ) = P \left( \bigcup_{k=1}^{\infty} (U_k < 0 ) | I_0 = i_s \right) \end{eqnarray*}$

mit festem $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_k = U_{k-1} (1+ I_k ) - Z_k = u \prod_{j=1}^{k} (1+ I_j ) - \sum_{j=1}^{k} \left( Z_j \prod_{ t = j+1}^{k} (1+ i_t ) \right) \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} k= 1, 2, ... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_0 = u \geq 0 \end{eqnarray*}$ const., $\begin{eqnarray*} Z_k \end{eqnarray*}$ i.i.d. und unabh. von $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ ,

beachten?

Hehe, du willst uns mit Formeln erschlagen? smile

Du kannst hier nicht erwarten, dass wir deine Semester- (oder gar Diplom-) Arbeit eins fix drei nachvollziehen, da sind wir nicht schnell genug. Augenzwinkern

Außerdem ist mir "was muss ich beachten" immer noch nicht konkret genug: Geht es um die Berechnung dieses $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ? Dann verrate doch erstmal, wie du das für diskreten Zustandsraum machst, dann kann man ja alles mal der Reihe abklopfen, inwieweit das erweiterbar ist!

18.11.2006, 15:41

EpseKarl

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Also, um Semsterarbeit und Co geht es noch nicht, dazu komme ich wohl erst in einem Jahr oder etwas später. smile

Dennoch hole mal etwas weiter aus:
$\begin{eqnarray*} \Psi (u, i_s) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit von einem Ruin. Dabei beschreibt $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$ einen Risikoprozess und ist der Überschuss, $\begin{eqnarray*} V_k \end{eqnarray*}$ den Nettoverlust und $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ den Zinssatz der k-ten Periode. Das Zinsmodell soll nun einer MK folgen, mit endl. Zustandsraum. Da mir dies nicht genügt, würde ich es gerne auf den beschriebenen Fall (überabzählbar) erweitern.

$\begin{eqnarray*} U_k = U_{k-1} (1+ I_k ) - Z_k = u \prod_{ j=1}^{k} (1+ I_j) - \sum_{j=1}^k \left( Z_j \prod_{t=j+1}^k (1+ I_t) \right) \end{eqnarray*}$

kann man leicht mit VI nachvollziehen. Habe mir überlegt, dass diese Form für die Erweiterung auf den überabzählbaren Fall evtl. von Vorteil seien kann. Soweit erstmal oki?

18.11.2006, 16:06

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Ja klar, bei der Formel ändert sich nix, die $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ sind halt nur stetig (ich nehme an, das meinst du konkret mit "überabzählbar") statt nur diskret. Ich dachte, es geht um konkrete Berechnungsfragen dieses $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit vom Übergangsgesetz.

18.11.2006, 17:09

EpseKarl

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Das $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ist schon mein Problem, und auch, inwieweit sich seine Berechnung im 'stetigen' Fall vom diskreten, unter Berücksichtigung der Übergangsvorschrift, verändert.
Mit dem $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$ wollte ich nur die Situation herum beschreiben.

20.11.2006, 10:11

EpseKarl

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@ Arthur Dent: Hast du noch einen Hinweis für mich?

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