Konvergenz

01.12.2010, 18:47

Theway

Konvergenz

Meine Frage:
Kannst du uns noch einmal ganz schnell helfen...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n} }{4n+(-1)^{n}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Wir haben heute den ganzen Tag gegrübelt, abgeschätzt(nach oben abschätzen gegen unendlich geht leicht, aber sonst), geguckt, wieder gegrübelt, aber nix funktionierte. Kein Quotientenkriterium, kein Wurzelkriterium, ... Oder kann man das argumentativ mittels Satz von Leibnitz regeln?

01.12.2010, 20:27

Manni Feinbein

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RE: Konvergenz
Sei $\begin{eqnarray*} a_k:=\frac{(-1)^k}{4k+(-1)^k}. \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachte mal $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}a_k=\sum_{k=1}^n \left(a_{2k}+a_{2k-1}\right)=\sum_{k=1}^n\frac {-6}{(8k+1)(8k-5)} \end{eqnarray*}$

und lass dann $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich laufen.

01.12.2010, 21:01

Theway

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RE: Konvergenz

Für n gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \newline \newline\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{-6}{(8k+1)(8k-5)}=\sum_{k=1}^\infty\frac{-2}{(8k+1)}*\frac{3}{(8k-5)}=\sum_{k=1}^\infty\frac{-2}{(8k+1)}*\sum_{k=1}^\infty\frac{3}{(8k-5)}=0 *0=0<br /> \end{eqnarray*}$

Die Reihe konvergiert gegen 0 und ist sogar absoult konvergent, denn:
$\begin{eqnarray*} \newline \newline\quad\left |\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{4n+(-1)^n} \right |=\sum_{n=1}^\infty\left |\frac{(-1)^n}{4n+(-1)^n} \right |=\sum_{n=1}^\infty\left |\frac{1}{4n+(-1)^n} \right |=0<br /> \end{eqnarray*}$

01.12.2010, 21:17

Manni Feinbein

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von Theway
Für n gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \newline \newline\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{-6}{(8k+1)(8k-5)}=\sum_{k=1}^\infty\frac{-2}{(8k+1)}*\frac{3}{(8k-5)}=\sum_{k=1}^\infty\frac{-2}{(8k+1)}*\sum_{k=1}^\infty\frac{3}{(8k-5)}=0 *0=0<br /> \end{eqnarray*}$

Die Reihe konvergiert gegen 0 und ist sogar absoult konvergent, denn:
$\begin{eqnarray*} \newline \newline\quad\left |\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{4n+(-1)^n} \right |=\sum_{n=1}^\infty\left |\frac{(-1)^n}{4n+(-1)^n} \right |=\sum_{n=1}^\infty\left |\frac{1}{4n+(-1)^n} \right |=0<br /> \end{eqnarray*}$

Ich hatte eigentlich die Hoffnung Dir mit dem Tipp weiterhelfen zu können aber diese Zeilen hier verdeutlichen, dass wir aneinander vorbei reden - lassen wir es also.
Vielleicht mag sich ja jemand einklinken, der mit mehr Geduld gesegnet ist also ich.

01.12.2010, 21:29

Theway

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RE: Konvergenz
Wo liegt der Denkfehler?

02.12.2010, 10:08

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von Theway
Oder kann man das argumentativ mittels Satz von Leibnitz regeln?

In der Tat.

@Manni Feinbein: mit deiner Argumentation betrachtest du nur eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray*}$ , nämlich nur die s_n, wo n gerade ist. Das ist aber unzulässig. Mit deiner Argumentation müßte auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(-1)^k \end{eqnarray*}$ konvergieren.

02.12.2010, 10:25

Manni Feinbein

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Theway
Oder kann man das argumentativ mittels Satz von Leibnitz regeln?

Mit dem feinen Unterschied, dass es hier um eine Nullfolge geht.

Zudem war das als Tipp und nicht als Komplettlösung gedacht.
Und der Tipp -wenn man ihn denn weiterdenkt- funktioniert sehr wohl.

03.12.2010, 08:54

Manni Feinbein

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RE: Konvergenz
Man könnte sich natürlich auch einfach mal nicht von dem (-1)^n im Nenner verwirren lassen und feststellen, dass

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{4n+(-1)^n}\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist.
Hammer

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