Restgruppe

01.12.2010, 19:59	Xand	Auf diesen Beitrag antworten »
Restgruppe Hallo, ich habe ein kleines Problem mit meiner Matheübung: Zeigen Sie: Für $\begin{eqnarray} n \in \mathbf{N} \end{eqnarray}$ , n > 0 und $\begin{eqnarray} z\in Z_{n} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} r \neq s -> z \ast r \neq z \ast s \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} r, s \in Z_{n} \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ eine Einheit ist. Soviel ich weiß ist $\begin{eqnarray} Z_{n} \end{eqnarray}$ eine Restgruppe mit $\begin{eqnarray} Z_{n} \end{eqnarray}$ ={0,1,...,n-1}. Da $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ eine Einheit ist, ist diese schonmal nicht 0. Mein Ansatz hierbei war es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} Z_{n} \end{eqnarray}$ keine Nullteiler hat, allerdings habe ich bis jetz immer noch keine Ahnung wie ich das anstellen soll. Kann mir jemand dabei helfen? Xand
01.12.2010, 23:26	m-power	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Du musst zwei Richtungen zeigen, da es sich um eine Äquivalenzaussage handelt. Die eine Richtung ist offensichtlich, denn wenn $\begin{eqnarray} z \in \mathbb Z_n \end{eqnarray}$ eine Einheit ist, so existiert $\begin{eqnarray} z^{-1} \in \mathbb Z_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z \cdot z^{-1} = 1 \in \mathbb Z_n \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} z^{-1}z r \neq z^{-1}z s \end{eqnarray}$ liefert Kürzen von $\begin{eqnarray} z^{-1} \end{eqnarray}$ das Gewünschte. Für die andere Richtung zeige, dass ein Element $\begin{eqnarray} z^{-1} \in \mathbb Z_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z \cdot z^{-1} = 1 \in \mathbb Z_n \end{eqnarray}$ existiert (dies ist gerade die Definition von "Einheit). Gruß, m-power

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