Frage zur Eulerschen Zahl und Grenzwerten

01.12.2010, 22:09

Hoffnungsloser

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Frage zur Eulerschen Zahl und Grenzwerten

Hallo,
Ich habe ein paar kleine Fragen zu dem Thema über mir.

1.
Das exponentielle Wachstum bzw. den exponentiellen Zerfall kann man ja durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} N(t)=N_{0}\cdot b^{t} \end{eqnarray*}$ darstellen. Dieses lässt sich umschreiben in $\begin{eqnarray*} N(t)=N_{0}\cdot e^{lnb\cdot t} \end{eqnarray*}$ , wobei der Exponent lnb beim Wachstum größer Null und beim Zerfall kleiner Null ist.
Meine Frage ist, warum lnb beim Wachstum größer Null und beim Zerfall kleiner Null ist.
Auch ist lnb, glaube ich gehört zu haben, eine Konstante, aber warum eigentlich?
2.
Ein Gesetz der Eulerschen Zahl besagt $\begin{eqnarray*} lnx=y <=> e^{y}=x \end{eqnarray*}$ .
Aber warum gilt dieser Satz?

3.
Zu den Grenzwerten:
Erstmal gelte: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } F(x)=o \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } G(x)=c\in \mathbb R ^{\neq 0} \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } \frac{F(x)}{G(x)} =O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } \frac{G(x)}{F(x)} =\pm \infty \end{eqnarray*}$ .
Warum ist hier der Grenzwert Null bzw. plus/minus Unendlich?

4.
Warum ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{b^{x} }{lnb} - \frac{lnb}{b} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} F'(x)=b^{x} \end{eqnarray*}$ ? Wie sind wir auf b hoch x gekommen?

5.
Letzte Frage:
Bekanntlich ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} F'(x)=e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ . Aber warum ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{kx} \end{eqnarray*}$ gleich
$\begin{eqnarray*} F'(x)=k\cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$ ?

01.12.2010, 23:34

Gualtiero

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RE: Frage zu Eulerschen Zahl und Greznwerten
Zu ersten zwei Fragen kann ich etwas sagen.
1.) Beim Wachstum muss die Ausgangsmenge mit einem Faktor multipliziert werden, der größer als 1 ist. Nachdem dieser Faktor von einer Potenz gebildet wird, deren Basis größer als 1 ist (e ~ 2.718), ist der Faktor bei einer positiven Hochzahl immer größer als 1.
Mit einer negativen Hochzahl erreicht man dementsprechend das Gegenteil

2.) Diese Definition gilt für jeden Logarithmus.
Wenn man lg als Logarthmus der Basis 10 definiert, dann gilt auch: lg(x) = y ist gleichbedeutend mit 10^y = x

02.12.2010, 19:29

Hoffnungsloser

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Hi!
Danke jetzt verstehe ich wenigstens die ersten beiden Fragen. Kann mir jemand noch bei den übrigen Fragen helfen?:

Zitat:

3.
Zu den Grenzwerten:
Erstmal gelte: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } F(x)=o \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } G(x)=c\in \mathbb R ^{\neq 0} \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } \frac{F(x)}{G(x)} =O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } \frac{G(x)}{F(x)} =\pm \infty \end{eqnarray*}$ .
Warum ist hier der Grenzwert Null bzw. plus/minus Unendlich?

4.
Warum ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{b^{x} }{lnb} - \frac{lnb}{b} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} F'(x)=b^{x} \end{eqnarray*}$ ? Wie sind wir auf b hoch x gekommen?

5.
Letzte Frage:
Bekanntlich ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} F'(x)=e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ . Aber warum ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{kx} \end{eqnarray*}$ gleich
$\begin{eqnarray*} F'(x)=k\cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$ ?

MfG

02.12.2010, 22:21

Hoffnungsloser

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Tschuldigung für Doppelpost:
Mir ist gerade aufgefallen, dass $\begin{eqnarray*} e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ vielleicht eine wenig missverständlich sein könnte. Ich meinte damit, dass die Ableitung von e hoch irgendeiner Zahl immer dasselbe ergeben muss.

MfG

03.12.2010, 22:25

Hoffnungsloser

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Hi,

Zitat:

3.
Zu den Grenzwerten:
Erstmal gelte: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } F(x)=o \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } G(x)=c\in \mathbb R ^{\neq 0} \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } \frac{F(x)}{G(x)} =O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{o} } \frac{G(x)}{F(x)} =\pm \infty \end{eqnarray*}$ .
Warum ist hier der Grenzwert Null bzw. plus/minus Unendlich?

4.
Warum ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{b^{x} }{lnb} - \frac{lnb}{b} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} F'(x)=b^{x} \end{eqnarray*}$ ? Wie sind wir auf b hoch x gekommen?

5.
Letzte Frage:
Bekanntlich ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} F'(x)=e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ . Aber warum ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{kx} \end{eqnarray*}$ gleich
$\begin{eqnarray*} F'(x)=k\cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$ ?

anscheindend habe ich meine Fragen etwas undeutlich formuliert. Also bei der fünften Frage meinte ich eigentlich, dass sich die zwei Regeln zur Ableitung der Eulerschen Zahl doch eigentlich widersprechen: Zum einem gilt ja, dass
$\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ auch in der Ableitung
$\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ist. Dann gibt es noch die Regel, in der $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{kx} \end{eqnarray*}$ gleich
$\begin{eqnarray*} F'(x)=k\cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$ ist. Meine Frage wäre, warum ich $\begin{eqnarray*} e^{kx} \end{eqnarray*}$ nocheinmal mit k multiplizieren muss, obwohl ich ja nach der ersten Regel e hoch irgendeiner Zahl(x) meine normale Funktion F(X) mit der Ableitung gleisetzen kann.
Ich hoffe jetzt ist meine Frage etwas verständlicher. Sollte es dennoch Fragen geben, zögert nicht einfach mal nachzufragen smile

smile

MfG

03.12.2010, 22:33

wisili

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RE: Frage zu Eulerschen Zahl und Greznwerten
Zitat:
«Bekanntlich ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} F'(x)=e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ .»

Das stimmt so nicht. Wenn man e^w nach w ableitet erhält man e^w.

Wenn man dagegen e^w nach v ableitet erhält man e^w * dw/dv.

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03.12.2010, 23:19

Hoffnungsloser

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Hi,

Zitat:

Wenn man e^w nach w ableitet erhält man e^w.

Wenn man dagegen e^w nach v ableitet erhält man e^w * dw/dv.

Woher hast du das v? Eigentlich dachte ich, man könnte bei $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ nur nach x ableiten, weil die Funktion ja von x abhängig ist.

Zitat:

Wenn man dagegen e^w nach v ableitet erhält man e^w * dw/dv.

Woher hast du die dw/dv? Hast du eine bestimmte Regel angewandt?

MfG

03.12.2010, 23:37

wisili

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Du sagst «irgendwas» und ich sage «w»,
du sagst x und ich sage v. Ich sehe keinen Unterschied.

Ja, ich habe die Kettenregel angewandt.

04.12.2010, 10:39

Hoffnungsloser

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Ah ich verstehe:
Aber mit "irgendeiner Zahl" ist doch x gemeint oder? Ich meine, für meine Varaible x kann ich doch irgendeine Zahl einetzen, oder nicht?

Zitat:

Ja, ich habe die Kettenregel angewandt.

Aber warum hast du denn die Kettenregel angewandt? Ich dachte e hoch einer Zahl ist in der Ableitung auch immer e hoch irgendeiner Zahl.
MfG

04.12.2010, 15:01

wisili

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Nicht ich, sondern du hast die Frage nach der Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{kx} \end{eqnarray*}$ gestellt. Und das ist ja schliesslich nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ .

04.12.2010, 15:27

Hoffnungsloser

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Ja das stimmt smile

smile

Ich verstehe nur nicht ganz, was der Unterschied zwischen kx und x ist. kx ist eine bestimmte Zahl, welche mit einer anderen mulitpliziert wird. X ist eine Zahl, welche man aber auch als Mulitplikation schreiben könnte:also zb.
$\begin{eqnarray*} e^{4}=e^{2\cdot 2} \end{eqnarray*}$
Würde dann aus der einen Regel, dass e hoch x in der Ableitung immer gleich bleibt, die Regel
$\begin{eqnarray*} F(x)=e^{kx} \end{eqnarray*}$ gleich
$\begin{eqnarray*} F'(x)=k\cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$ werden?

04.12.2010, 15:28

wisili

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Ja, das ist die Kettenregel. Man kann sie in diesem Fall nicht umgehen.

04.12.2010, 15:32

Hoffnungsloser

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Also könnte man $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} e^{kx} \end{eqnarray*}$ umschreiben, sodass dann die Kettenregel gelten würde?

04.12.2010, 15:34

wisili

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Mit k=1 hat man den Spezialfall.

04.12.2010, 15:39

Hoffnungsloser

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Also bei k=1 , darf ich dann die Regel anwenden, in welcher e hoch x in der Ableitung gleich bleibt, oder? Aber wie ist es mit $\begin{eqnarray*} F(4)=e^{4} \end{eqnarray*}$ ? Welche Regel muss ich hier anwenden? Ich könnte das ja auch in $\begin{eqnarray*} F(4)=e^{2\cdot 2} \end{eqnarray*}$ umschreiben, sodass wieder die Kettenregel gelten würde, oder?

04.12.2010, 16:23

wisili

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Man muss die abzuleitende Funktion kennen, um sie ableiten zu können; es gibt keine Auswahl.

04.12.2010, 18:33

Hoffnungsloser

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Hi,

Zitat:

Man muss die abzuleitende Funktion kennen, um sie ableiten zu können; es gibt keine Auswahl.

Wie meinst du das mit "man muss die abzuleitende Funktion kennen"? Könntest du mir das vielleicht an meinem Beispiel hier erklären:

Zitat:

Also bei k=1 , darf ich dann die Regel anwenden, in welcher e hoch x in der Ableitung gleich bleibt, oder? Aber wie ist es mit $\begin{eqnarray*} F(4)=e^{4} \end{eqnarray*}$ ? Welche Regel muss ich hier anwenden? Ich könnte das ja auch in $\begin{eqnarray*} F(4)=e^{2\cdot 2} \end{eqnarray*}$ umschreiben, sodass wieder die Kettenregel gelten würde, oder?

Wäre meine Überlegung hier überhaupt richtig?

MfG

04.12.2010, 20:37

wisili

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Wenn man den Ableitungswert F '(4) berechnen will, muss man die Funktion F kennen, d.h. man muss wissen ob F(x) = e^x oder e^(2x) oder ...

04.12.2010, 22:06

Hoffnungsloser

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Ah ich verstehe.
Wenn ich aber zb. $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{2\cdot 2}+x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{2\cdot 3}+x \end{eqnarray*}$ verändert sich bei e nichts in der Ableitung , oder? Dann habe ich immer noch e hoch zwei mal zwei bzw. e hoch zwei mal drei oder?

04.12.2010, 22:08

wisili

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Die Ableitungen dieser beiden Funktionen sind beide konstant 1.

04.12.2010, 22:11

Hoffnungsloser

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Also habe ich $\begin{eqnarray*} F'(x)= e^{2\cdot 2} +1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} F'(x)= e^{2\cdot 3} +1 \end{eqnarray*}$ , oder?

04.12.2010, 22:13

wisili

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Nein. Die Ableitungen beider Funktionen sind beide konstant 1.

04.12.2010, 22:16

Hoffnungsloser

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Welche Regln muss ich denn anwenden? Ich habe jetzt Summenregel, Potenzregl und dir Regl angewandt, welche besagt, dass "e hoch einer Zahl in der Ableitung erhalten bleibt" angewandt.

04.12.2010, 22:24

wisili

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Ich verabschiede mich hier. Ich habe schon viel weiter oben erklärt, dass diese "e hoch einer Zahl"-Regel nicht stimmt. Kurz: Die Ableitung von e^(2*2) ist 0.

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