[Karpfinger/Meyberg] Gruppenoperationen 7.3 (*)

02.12.2010, 00:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
*[Karpfinger/Meyberg] Gruppenoperationen 7.3 ()** G sei eine nichtabelsche Gruppe und p eine Primzahl. Es gelte \|G\|=p³. Zu zeigen: \|Z(G)\|=p. Meine Ideen: Das Zentrum Z(G) ist Normalteiler von G, insbesondere also Untergruppe und somit gilt \|Z(G)\| teilt p³. Da p prim ist, kommt in Frage 1, p , p² oder p³. * p³ würde aber bedeuten, dass G abelsch ist. * p² würde bedeuten, dass gilt \|G/Z(G)\| = p und wegen p prim, ist die Faktorgruppe dann zyklisch. Dann ist G aber abelsch (war andere Aufgabe). Was mit nun nicht gelingt, ist \|Z(G)\|=1 auszuschließen.
02.12.2010, 00:39	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Konjugation als Operation. Was besagt die Bahnenformel?
02.12.2010, 09:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Konjugation müßte die Formel Klassengleichung heißen, oder? $\begin{eqnarray} \|G\| = \|Z(G)\| + \sum_{i=1}^r[G:Z_G(a_i)] \end{eqnarray}$ Die Indizes $\begin{eqnarray} [G:Z_G(a_i)] \end{eqnarray}$ sind Teiler von p³, die Zentralisatoren $\begin{eqnarray} Z_G(a_i) \end{eqnarray}$ haben mindestens 2 Elemente. Damit müssen sie p, p² oder p³ Elemente haben. p³ geht wegen abelsch wieder nicht. Damit ist der Index dann aber p oder p². $\begin{eqnarray} \|G\| -\|Z(G)\| = \sum_{i=1}^r[G:Z_G(a_i)] \end{eqnarray}$ Links steht p³-1, ist nicht durch p teilbar, rechts steht was durch p teilbares. Also Widerspruch. Damit bleibt nur \|Z(G)\|=p, wenn es so eine Gruppe überhaupt gibt. Muss ich das zeigen, oder schenkt mir das die Angabe?
02.12.2010, 10:27	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch dazu schreiben dass $\begin{eqnarray} a_1,\ldots, a_r \end{eqnarray}$ ein Repräsentantensystem von Konjugationsklassen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Z_G(x) \neq G \end{eqnarray}$ ist. Die Existenz musst du nicht beweisen.
02.12.2010, 10:28	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke.

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