Erzeugendensystem erzeugen

02.12.2010, 01:33

Assmoht

Erzeugendensystem erzeugen

Hi,
habe folgendes Problem:
Und zwar habe ich eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R3 \end{eqnarray*}$ M_beta:= $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \beta \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Nun soll ich Beta so bestimmen, mit Hilfe des Gaußalgorhytmus, dass jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R 3 \end{eqnarray*}$ in span (M_beta) enthalten ist.

Ich verstehe die Aufgabe so, dass ich Beta so bestimmen muss, dass die Elemente in M_beta ein Erzeugendensystem des R3 sind ?!

Das heißt ja, dass eine Linearkombination aus den in M_beta enthaltenen Vektoren jeden beliebigen Vektor des R3 darstellen können ?!

also müsste ja gelten :

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2a & 5b & 0c & U1\\ 3a & 7b & 1c &U2\\ 3a & 1b & c\beta & U3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Allerdings weiß ich jetzt nicht genau weiter wenn ich die matrix in ZSF bringe kommt dann irgendwann nur wirrwar und müll raus..
Glaube das ist der falsche ansatz Big Laugh

Und jetzt kommt ihr ins spiel Augenzwinkern

gebt mir doch bitte einen Tipp für den korrekten Ansatz =)

Grüße Assmoht

02.12.2010, 01:57

Assmoht

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Und so lösen sich Probleme (hofentlich) einfach durch im Forum posten =)

Neuer Ansatz ---> Erzeugendensystem heißt, dass alle Vektoren Linear unabhängig sind.

also die Vektoren müssen linear unabhöngig sein.

--->
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2a & 5b & 0c & 0\\ 3a & 7b & 1c &0\\ 3a & 1b & c\beta & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann hab ich sei in ZSF gebracht

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 5 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 &0\\ 0 & 0 & \beta -13 & 0\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus folgere ich $\begin{eqnarray*} \beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ {13} da sonst die Vektoren Linear abhängig wären.

Richtig ? =)

02.12.2010, 02:11

Mulder

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Ohne jetzt nachgerechnet zu haben (dafür ist es mir zu spät):

Zitat:

Original von Assmoht
Erzeugendensystem heißt, dass alle Vektoren Linear unabhängig sind.

Diese Aussage ist per se natürlich Blödsinn. Ein Erzeugendensystem muss nicht aus linear unabhängigen Vektoren bestehen. In diesem Fall weiß man aber, dass dim(R³)=3 ist und daher bilden 3 linear unabhängige Vektoren logischerweise eine Basis und damit auch ein Erzeugendensystem des R³.

Vielleicht hast du das auch so gemeint, aber dann war das eben sehr unglücklich formuliert. Ansonsten ist deine Idee aber okay: Wenn die drei Vektoren in $\begin{eqnarray*} M_{\beta} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, bilden sie ein Erzeugendensystem des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , ja. Aus dem oben genannten Grund.

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