[Karpfinger/Meyberg] Gruppenoperationen 7.5

02.12.2010, 10:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
[Karpfinger/Meyberg] Gruppenoperationen 7.5 Es sind bis auf Isomoprhie alle nichtabelschen Gruppen der Ordnung 8 zu bestimmen. [Sylow-Sätze noch nicht vorhanden] Meine Ideen: Es ist $\begin{eqnarray} 8 = 2^3 \end{eqnarray}$ , somit handelt es sich um p-Gruppen. Damit ist bei all diesen Gruppen das Zentrum nicht trivial. Mit Aufgabe 7.3 weiß man - wegen 2³ und nichtabelsch - dass gilt $\begin{eqnarray} \|Z(G)\|=2 \end{eqnarray}$ . Dann muss nach der Klassengleichung gelten (a_i Repräsentantensystem): $\begin{eqnarray} 2^3-2 = \sum_{i=1}^r [G:Z_G(a_i)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4 = \sum_{i=1}^r [G:Z_G(a_i)] \end{eqnarray}$ Die Indizes können 2 oder 4 sein. soweit richtig?
06.12.2010, 10:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Karpfinger/Meyberg] Gruppenoperationen 7.5 Meinungen dazu?
09.12.2010, 11:16	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Karpfinger/Meyberg] Gruppenoperationen 7.5 Hi tigerbine, Also $\begin{eqnarray} 2^3-2 \end{eqnarray}$ ist bei mir $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ . Allerdings weiß ich nicht, ob Dir die Klassengleichung hilft. Was hast Du denn vor damit? Sylowsätze sind in $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -Gruppen allgemein nicht hilfreich. Zur Charakterisierung solcher Gruppen benötigt man auf jeden Fall einen groben Plan, wie man die Gruppen am Ende identifizieren will. Entweder weiß man schon was rauskommt und braucht dann nur noch die Gruppe mit bekannten Gruppen zu identifizieren oder man muss eben etwas aufwendiger arbeiten, zum Beispiel mit Multiplikationstafeln. Da G nicht abelsch sein soll, können nicht alle nichttrivialen Elemente die Ordnung 2 haben und es gibt auch kein Element der Ordnung 8. Es gibt also eine Untergruppe $\begin{eqnarray} A=\langle a\rangle \end{eqnarray}$ der Ordnung 4, die normal aber nicht zentral ist. Mit Hilfe eines Elements $\begin{eqnarray} b\in G\setminus A \end{eqnarray}$ kannst Du nun schon alle Gruppenelemente aufschreiben und untersuchen, wie $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ operiert. Gruß, Reksilat.

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