Wurzel im Exponenten

02.12.2010, 13:29

Alex_clueless

Wurzel im Exponenten

Hallo,

ich habe eine Exponentialgleichung mit einer Wurzel im Exponenten.

$\begin{eqnarray*} 3^{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Ich kann die Wurzel entsprechend als x^0,5 schreiben

$\begin{eqnarray*} 3^{0.5x} = x^{-0.5} \end{eqnarray*}$

aber dann hänge ich fest.

Kann mir jemand helfen?

Danke und viele Grüße
Alex

02.12.2010, 13:57

BarneyG.

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RE: Wurzel im Exponenten
Diese Gleichung ist elementar nicht auflösbar!

Wenn man etwa auf beiden Seiten den Logarithmus bildet erhält man eine Gleichung die x und ln x enthält.

Allenfalls kann man eine grafische oder numerische Lösung ermitteln. Dann erhält man näherungsweise x = 0,3001

02.12.2010, 14:01

baphomet

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RE: Wurzel im Exponenten
$\begin{eqnarray*} 3^{0.5x} = x^{-0.5} \end{eqnarray*}$

Nun logarithmiert man die Gleichung und gelangt so zur Lösung:

$\begin{eqnarray*} 0,5x\ln(3)=-0,5\ln(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x=\frac{\ln(x)}{\ln(3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1\cdot e^{\ln(x)}=\log_3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)}=-\log_3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=\log_3x \end{eqnarray*}$

02.12.2010, 14:08

BarneyG.

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Und wie löst man jetzt diese Gleichung nach x auf? Da bin ich aber mal gespannt darauf ... Big Laugh

02.12.2010, 14:09

baphomet

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Hast schon recht Barney, scheint nicht zu klappen

02.12.2010, 14:10

Alex_clueless

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ja, das ist genau mein Problem...

02.12.2010, 14:32

BarneyG.

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Dein Nick gibt schon die richtige Antwort ...no clue ... ! Elementar geht da nix ... Big Laugh

02.12.2010, 14:35

Alex_clueless

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hm...bist du da sicher oder stehen wir beide auf dem Schlauch? Hammer

02.12.2010, 14:41

baphomet

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RE: Wurzel im Exponenten
Mir fällt auch nichts ein außer

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=\log_3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\ln(x)=\ln(\log_3x) \end{eqnarray*}$

was einen aber auch nicht weiter bringt.

02.12.2010, 22:33

Pavel

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RE: Wurzel im Exponenten
Barneys Antowort, dass die Gleichung elementar nicht auflösbar ist, ist nichts mehr hinzuzufügen.
Dennoch möchte ich auf einen kleinen, aber feinen Fehler aufmerksam machen, der sich hier durchgehend fortgepflanzt hat:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3^{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Ich kann die Wurzel entsprechend als x^0,5 schreiben

$\begin{eqnarray*} 3^{0.5x} = x^{-0.5} \end{eqnarray*}$

Da steckt direkt schon ein Fehler bei der Umformung auf der linken Seite.

Im Allgemeinen gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} 3^{\sqrt{x}} = 3^{x^{0.5}} = 3^{\left(x^{0.5}\right)} \overset{!}{\neq} \left(3^x\right)^{0.5}=3^{0.5x} \end{eqnarray*}$

MfG, Pavel

02.12.2010, 23:44

René Gruber

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Zumindest mit LambertW geht es: Eine Umformung der Gleichung ergibt

$\begin{eqnarray*} \ln(3)\sqrt{x} e^{\ln(3)\sqrt{x}} = \ln(3) \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} \ln(3)\sqrt{x} = W(\ln(3)) \end{eqnarray*}$ und somit dann

$\begin{eqnarray*} x = \left( \frac{W(\ln(3))}{\ln(3)} \right)^2 \end{eqnarray*}$ .

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