Zahlentheorie: Kongruenzen bei Primpotenzen

02.12.2010, 13:30

crb

Zahlentheorie: Kongruenzen bei Primpotenzen

$\begin{eqnarray*} \text {Hallo, ich habe folgende Aufgabenstellung:} \text{ Sei p eine Primzahl und n}\in \mathbb N. \text{ Zeigen Sie: } \text {a) Es gilt: } (1+p)^{p^{(n-1)}}\equiv 1 (p^{n}) \text {b) Ist zusätzlich } p \geq 3 \text { und } n \geq 2 \text {, so gilt: } (1+p)^{p^{(n-2)}} \not\equiv 1 (p^{n}) \text {Bei der a) habe ich folgendes versucht, komme aber leider nicht weiter: } \text {Wir wissen } a \equiv b (p^{n}) \Rightarrow a^{p} \equiv b^{p} (p^{n+1}) \text {also setze ich } a:=(1+p), b:=1, n=1 \text { und erhalte:} (1+p) \equiv 1 (p) \text{ (dass das gilt, ist klar) } \Rightarrow (1+p)^{p} \equiv 1^{p} (p^{2}) \text {Nun wollte ich per Induktion zeigen, dass auch a) gilt, bleibe aber stecken... } \text {Den IA habe ich bereits oben gemacht. Setze nun } n \to n+1: \text {Dann ist zu zeigen: } (1+p)^{p^{(n+1-1)}} \equiv 1 (p^{n+1}) \text {Hier komme ich nicht weiter.} \text {Habe das Gefühl, wieder genau am Anfang zu stehen und weiß leider noch nicht so ganz, wie ich mit den Kongruenzen umgehen soll.} \text {Kann mir jemand helfen?} \text{Zur b): } \text {Hier wollte ich eigentlich folgendes verwenden: } a \equiv b (p^{n}) \text { und } a \not \equiv b (p^{n+1}) \text { und } b \not \equiv 0 (p) \Rightarrow a^{p} \equiv b^{p} (p^{(n+2)} \text {Nun kann ich nicht zeigen, dass } a \not \equiv b (p^{n+1}) \text {Hat auch hier jemand Tipps für mich?} \text {P.S: Vielleicht kann mir noch jemand verraten, wie ich in LaTex schöner formatiere... Zur Zeit muss ich meinen Fließtext immer aufteilen.} \text {'Enter' machen und dann erneut 'backslash text geschweifte Klammern' } \text { und es sieht trotzdem nicht besonders schön aus...} \end{eqnarray*}$

02.12.2010, 13:38

kiste

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Den Text solltest du auch nicht in LaTeX schreiben, sondern als normalen Beitrag. Nur die Formeln in latex-Tags setzen.

Es gilt doch nach Induktion $\begin{eqnarray*} (1+p)^{p^{n-1}} \equiv 1 \quad (p^n) \end{eqnarray*}$ .
Nach deinem "wir wissen"(was mir nicht bekannt ist, aber ich vertraue dir einfach mal), gilt doch dann
$\begin{eqnarray*} \left((1+p)^{p^{n-1}}\right)^p \equiv 1^p \quad (p^{n+1}) \end{eqnarray*}$ .
Der Rest sind Potenzgesetze

02.12.2010, 13:58

crb

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Das "wir wissen" ist ein Satz aus dem Skript. =)

Zitat:

Es gilt doch nach Induktion $\begin{eqnarray*} (1+p)^{p^{n-1}} \equiv 1 \quad (p^n) \end{eqnarray*}$ .

Die Induktion ist genau das, was mir Schwierigkeiten bereitet. Insofern bringt mich das leider nicht weiter. :-(

02.12.2010, 15:00

René Gruber

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Zitat:

Original von crb
$\begin{eqnarray*} \text {Wir wissen } a \equiv b (p^{n}) \Rightarrow a^{p} \equiv b^{p} (p^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Und das wendest du im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} a =(1+p)^{p^{n-1}},\; b=1 \end{eqnarray*}$ an - wo siehst du da noch ein Problem? verwirrt

02.12.2010, 15:13

crb

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Hm, dann stehe ich scheinbar total auf dem Schlauch... verstehe es noch immer nicht.
Ich habe doch: $\begin{eqnarray*} (1+p)^{(n-1)}*(1+p) \equiv 1 (p^{n})*(1+p) \end{eqnarray*}$ wenn ich den IS mache. Damit bleibt aber noch zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 1 (p^{n})*(1+p) \equiv 1 (p^{(n+1)}) \end{eqnarray*}$
Oder nicht? Dann würde ich ja zwei verschiedene Modulus verwenden... darf ich das?

02.12.2010, 15:44

René Gruber

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Ich verstehe nicht, worauf du hinaus willst - ja, nicht mal die Syntax dieser Zeile

Zitat:

Original von crb
$\begin{eqnarray*} (1+p)^{(n-1)}*(1+p) \equiv 1 (p^{n})*(1+p) \end{eqnarray*}$

leuchtet mir ein. unglücklich

Nebenbei bemerkt geht es nicht um $\begin{eqnarray*} (1+p)^{(n-1)} \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} (1+p)^{p^{n-1}} \end{eqnarray*}$ , wirf das mal nicht durcheinander.

04.12.2010, 20:05

crb

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Ja, da habe ich in der Eile ganz schön wirres Zeug hingeschrieben, tut mir leid.

Vielen Dank für die Hilfe. =)

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