Fixpunktsatz

02.12.2010, 13:35

guguli

Fixpunktsatz

Meine Frage:
Hi,
ich habe folgende Aufgabestellung:
Beweisen Sie ohne Benutzung des Fixpunktsatzes von Banach: Ist f:[0,1]->[0,1]stetig, dann hat f einen Fixpunkt in[0,1], wieso benötigt der Fixpunktsatz von Banach mehr Voraussetzungen als selbstabbildung un Stetigkeit???
Kann mir einer dabei helfen diese Aufgabe zu bewältigen???

Meine Ideen:
Das Problem ist ich kenn den banachscher satz aber weiss net mehr wie ich das anderes lösen kann.

02.12.2010, 15:48

topo

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Schau mal nach dem Zwischenwertsatz (und Fallunterscheidungen), damit solltest du dein Problem lösen können

02.12.2010, 15:57

Cugu

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- Zwischenwertsatz!
(Ich wüsste gar nicht, wie man hier den Banachschen Fixpunktsatz anwenden kann...)

- Der Banachsche Fixpunktsatz beinhaltet auch eine Eindeutigkeitsaussage. Der Fixpunktsatz von Schauder (in 1-D der Zwischenwertsatz) liefert nur Existenz.
Daher kann das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus dieser Aufgabe auch mehrere Fixpunkte besitzen. Will man das verhindern braucht man zusätzliche Voraussetzungen.

edit:
Stetigkeit genügt im Allgemeinen übrigens auch für die Existenz nicht. Zum Beispiel ist die Aussage für $\begin{eqnarray*} f: (0,1) \to (0,1) \end{eqnarray*}$ falsch. $\begin{eqnarray*} f(x)=0.5x \end{eqnarray*}$ ist ein Gegenbeispiel.
Allerdings ist hier mit $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ eine nicht-leere, konvexe, kompakte Menge gegeben.

02.12.2010, 19:20

tigerbine

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Imho ist hier unklar, für was die Bildmenge [0,1] steht. Selbstabbildung heißt bei Banach nur, dass die Bildmenge Teilmenge der Definitionsmenge ist. Für den ZWS wird man aber fordern, dass das Bild wirklich [0,1] ist.

Ich will damit sagen, dass man Funktion ja auch oft $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ angibt. Das heißt aber nur, dass sie auf IR definiert sind und das Bild Teilmenge von IR ist. Es muss nicht ganz IR sein.

03.12.2010, 06:22

Cugu

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Zitat:

Selbstabbildung heißt bei Banach nur, dass die Bildmenge Teilmenge der Definitionsmenge ist.

Das ist bei Brouwer, Schauder etc. genauso.

Zitat:

Für den ZWS wird man aber fordern, dass das Bild wirklich [0,1] ist.

Nein, mit dem ZWS sucht man Nullstellen, nich Fixpunkte. Man muss also $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-x \end{eqnarray*}$ betrachten.
Man überlegt sich dann, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sowohl nicht-positive, als auch nicht-negative Werte annimmt.

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Hier hätte man merken können, dass ich keine Surjektivität voraussetze:

Zitat:

Zum Beispiel ist die Aussage für $\begin{eqnarray*} f: (0,1) \to (0,1) \end{eqnarray*}$ falsch. $\begin{eqnarray*} f(x)=0.5x \end{eqnarray*}$ ist ein Gegenbeispiel.

03.12.2010, 10:27

tigerbine

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Zitat:

Original von Cugu
Hier hätte man merken können, dass ich keine Surjektivität voraussetze

Hab ich eben nicht gemerkt. Augenzwinkern

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