irre determinante |
| 19.06.2004, 12:20 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| irre determinante Das ist nicht die matrix aber sie hat das selb format, unsere ist halt NxN für n >= 2, also a in der diagonalen sonst alles b, in der Aufgabe ist nicht gekennzeichnet das die a's und b's unterschiedlich sind deswegen denke ich das jedes b gleich, analog a. Wir sollen die determinante von dem Ding ausrechnen, ich komme aber auf gigantische binomische formeln. Wir hatten vorher die vandermondsche Determinante ausgerechnet, die hat sich viel besser aufgelößt X( .Ich brauch nur mal ne idee, durch zeilenumformung per gauß komm ich nich weit! |
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| 19.06.2004, 13:49 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab eine Möglichkeit, erst einmal eine rekursive Formel für die Determinante aufzustellen. Nennen wir die Determinante der n x n-Matrix D_n. Dann ist z.B. D_1 = a und D_2 = a^2 - b^2. Um D_n für ein beliebiges n zu bestimmen, kannst du so vorgehen: Du subtrahierst die erste Zeile von der i-ten Zeile, für i von 2 bis n. Dann addierst du zur ersten Spalte die j-te Spalte für j von 2 bis n. Damit erhältst du eine obere Dreiecksmatrix, deren Determinante du ablesen kannst. |
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| 19.06.2004, 14:00 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nach dem Auflösungssatz (Auflösen nach den Elementen der 1. Zeile mit 3 zweireihigen Determinanten) für Determinanten ergibt sich: D = a*(a² - b²) - b*(ab - b²) + b*(b² - ab) D = a³ - 3ab² + 2b³ Gr mYthos |
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| 19.06.2004, 14:09 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Clever! Mit der rekursiven Formel hät ich aber intelligenter gewirkt ^^, ne passt schon danke 
Das problem ist das ich den satz nich kenne 
edit Also ich komme auf Det= (a - (n-1)*b)* Produktzeichen(i = 2 bis n {a-b}) |
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| 19.06.2004, 14:25 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Mazze: Der Satz heißt auch "Entwicklungssatz". (Siehe Determinante, da ist weiter unten der Punkt "Entwicklung nach der i-ten Zeile". Geht aber mit Spalten genauso.) @mYthos: Danke für die Berechnung von D_3. Die Aufgabe war aber allgemeiner gestellt.
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| 19.06.2004, 14:28 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Auflösungssatz - ja, heisst Entwicklungssatz, stimmt! - funktioniert so: Man kann prinzipiell nach Elementen jeder beliebigen Zeile oder Spalte auflösen. Man streicht dann die Zeile (i) und die Spalte (k), in der das jeweilige Element a_ik steht, dadurch ensteht eine (n - 1) - reihige Unterdeterminante. Diese wird nun mit (-1)^(i+k)*a_ik multipliziert. Dies macht man für alle Elemente in dieser Zeile oder Spalte und addiert dann alle Produkte. Das hört sich komplizierter an, als es ist! Auf dein Beispiel angewandt: a steht in der ersten Zeile und in der ersten Spalte, wegen (-1)^2 = 1 ist das Vorzeichen positiv und nach dem Streichen der ersten Zeile und der ersten Spalte bleibt als Unterdeterminante stehen. Deren Wert ist a² - b². Der erste Summand ist also a*(a² - b²). Beim zweiten ist das Vorzeichen negativ zu nehmen (also -b) und beim dritten wiederum positiv (+b). Es ist also: Gr mYthos |
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| 19.06.2004, 14:32 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah ich glaube ich kenn das ding, hab ich vor einem jahr mal innem schlechten pascal code umgesetz, nur nicht mehr gebraucht, wohl weil analysis dazwischen lag ^^. naja, schätze das kriegen wir am montag 
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| 19.06.2004, 14:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich komme auf |
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| 19.06.2004, 14:38 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sicher das das plus richtig ist leo? ansonsten stimmt unsers überein -.-Oder hab ich was vergeigt, ich zieh doch n-1 spalten von Spalte eins ab, da muss ich doch a - (n-1)*b rechnen -.- edit argh hast recht ich addiere ja ...
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| 19.06.2004, 14:39 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leopolds Ergebnis ist richtig.
Ich habe seine Formel auch per Induktion bewiesen, um sicher zu sein. |
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| 19.06.2004, 14:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe es so gemacht: 1. Addiere alle Zeilen zur letzten Zeile. Dadurch ist jedes Element dieser Zeile gleich a+(n-1)b. 2. Subtrahiere dann die letzte Spalte von jeder der anderen Spalten. Man erhält eine obere Dreiecksmatrix, wo in der Hauptdiagonalen überall außer beim letzten Element a-b steht. Das letzte Element ist a+(n-1)b. |
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| 19.06.2004, 21:44 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Offenbar sind unsere Lösungswege in einem gewissen Sinne zueinander symmetrisch, Leopold
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