Lineare Abbildung und Vektorraum bestimmen

02.12.2010, 13:43

sl33ping

Lineare Abbildung und Vektorraum bestimmen

Ich muss einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung F:V→V finden, wofür gilt:

ker(F) ={0} und Im(F)≠ V.

Leider habe ich schon Probleme einen Ansatz zu finden. Ich weiß nur, dass die Abbildung injektiv sein muss, da der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

Wie komme ich auf den Vektorraum und die lineare Abbildung?
Als Tipp zum Lösen der Aufgabe habe ich bekommen, dass im endlich-dimensionalen injektiv, surjektiv und bijektiv das gleiche sind und ich folglich einen unendlich-dimensionalen Vektorraum suche.

Vielen Dank für jede Hilfe,

Felix

02.12.2010, 18:35

Elvis

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Deine Aufgabe ist leider nicht lesbar. Versuchs bitte mit latex, das gibt es hier im Matheboard unter "Formeleditor".

02.12.2010, 19:11

sl33ping

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hm sorry.

Hier nog mal meine Frage:

Ich muss einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung F:V -> V finden, wofür gilt:

ker(F) ={0} und Im(F) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ V.

Leider habe ich schon Probleme einen Ansatz zu finden. Ich weiß nur, dass die Abbildung injektiv sein muss, da der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

Wie komme ich auf den Vektorraum und die lineare Abbildung?
Als Tipp zum Lösen der Aufgabe habe ich bekommen, dass im endlich-dimensionalen injektiv, surjektiv und bijektiv das gleiche sind und ich folglich einen unendlich-dimensionalen Vektorraum suche.

Als mögliche Lösung hab ich bisher mir folgendes überlegt:

Zitat:

Stimmt: ker(F) = {v element V|F(v) = 0} und Im(F) = F(V) ?
Kann ich dann sagen,
wenn
$\begin{eqnarray*} V = \left\{ x, x^3, x^5,...,x^{2n-1}|n=1,2,...\right\} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (F g) (t) =\int_a^b\! g(t) \, dt \end{eqnarray*}$
mit a=-1 und b=1,

dann sind alle (F g)(t) = 0 also alle {v element V| F(v) = 0} = {0} und F(V) ={0} $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ V ?

sorry für die unübersichtliche Schreibweise (first time latex...).

Liebe Grüße,

Felix

03.12.2010, 13:45

Elvis

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Die Integrale überzeugen mich überhaupt nicht. unglücklich

Betrachte den Vektorraum der Polynome $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ über einem Körper K und die lineare Abbildung, die jedem Basisvektor $\begin{eqnarray*} X^n,n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ z.B. das Bild $\begin{eqnarray*} X^{2n} \end{eqnarray*}$ zuordnet.

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