Stetigkeit Aussagen?

02.12.2010, 15:36

red-ass-monkey

Stetigkeit Aussagen?

Ich hab hier eine Aufgabe, von der ich nicht genau weiß was zu tun ist:

Gelten die folgenden zwei Aussagen oder nicht? Begründe (beweise) warum sie
gelten oder gibt ein Gegenbeispiel an.
(a) Eine Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} n\in N \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a_{n} = a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ (für festes n_{0}) konvergiert gegen a.

(b) Wenn b_{n}
eine Folge mit b_{n} gegen b für n gegen \infty und f(b_{n})[/latex]
für n gegen 1 gilt, dann ist f stetig in b [/latex]

zu a)
Ich bin mir nicht sicher wie sich diese folge verhält. Aber da
$\begin{eqnarray*} <br /> a_{n} = a <br /> \end{eqnarray*}$

ist, müsste doch auch a_{1}

oder a_{32} = a sein, also kovergiert sie gegen a? Ist das richtig gedacht oder irre ich mich? Den beweis würde ich mit VI machen. [/latex]

zu b)
Versteh ich einfach nicht. Hilfe!

Vielen Dank im Voraus!
Axl

03.12.2010, 22:56

Cel

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Bei der a) steht nicht, dass die Folge für alle n konstant gleich a ist. Das gilt erst ab einem bestimmten n. Eigentlich ist das nur Definition aufschreiben, denn du musst für jedes noch so kleine Epsilon einen Index finden, so dass die Folgenglieder vom Grenzwert weniger als Epsilon entfernt sind. Es gibt aber einen Index, ab dem der Abstand Null wird.

Die b) ist sprachlich nicht sehr schön formuliert, das müsstest du noch mal sauber aufschreiben.

05.12.2010, 11:51

mathematikgrundkurs

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Ich übernehme mal eben das saubere Aufschreiben, in der Hoffnung, dass du hilfst smile

Wenn $\begin{eqnarray*} (b_{n}) \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} b_{n}->b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b_{n})->f(b) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz: Irgendeine Folge nehmen, die für n gegen unedlich gegen einen bestimmten GW konvergiert.

Meine Schwierigkeit ist jetzt aber so eine Funktion f zu finden, die gegen f(b) konvergiert. Ich kenne doch den Funktionswert von b noch gar nicht, wenn ich die Funktion selber noch nicht kenne.

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Wie muss ich hier an die Aufgabe ran gehen?

05.12.2010, 18:12

mathematikgrundkurs

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Hmh ich finde einfach keine Funktion ... gebt mir mal bitte nen Tipp zur Rangehensweise^^

05.12.2010, 18:39

mathematikgrundkurs

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Mal allgemeiner:

Eine solche Folge $\begin{eqnarray*} (b_{n}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_{n}->b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$ wäre doch zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (b_{n}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 3+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

denn die strebt gegen b als konstante Zahl...und das wäre ja hier 3, oder?

Aber wie konstruiere ich dann eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(b_{n})->f(b) \end{eqnarray*}$ ?

Um $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, bräcuhte ich doch erstmal mein f...

Hmh, was verstehe ich hier falsch?

05.12.2010, 19:51

mathematikgrundkurs

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Oder was ist denn hier überhaupt unter f zu verstehen?

Das ist doch ne Fkt., aber wie stelle ich die auf?

05.12.2010, 21:29

mathematikgrundkurs

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Okay ich gehe das noch mal ein bisschen anders ran.

Ich habe ja eine Folge als Beispiel angegeben...die konvergiert gegen b=3.
Ich kann aber doch aus dem nicht schließen, dass eine Funktion an der Stelle b mit f(b) auch wirklich stetig ist, oder? Das muss doch nicht sein. Mir fehlt hier aber nen mathematisches Gegenbeispiel.

Wie sieht so eine Fkt. aus? Vielleicht gebrochen-rational? Mit 3 Grenzwert und einem Nenner, der immer größer wird für n gegen unendlich?

Hmh??

05.12.2010, 23:24

mathematikgrundkurs

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Ich zweifel langsam daran, dass f eine Funktionsvorschrift sein soll.

Da kann man doch gar nicht auf f(b) kommen. Wie soll das gehen?

06.12.2010, 00:52

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von mathematikgrundkurs
Ich zweifel langsam daran, dass f eine Funktionsvorschrift sein soll.

Da kann man doch gar nicht auf f(b) kommen. Wie soll das gehen?

f ist eine Funktion. Seh dir noch mal an, was Stetigkeit bedeutet. Es gibt einen Satz mit:
Wenn für alle Folgen mit...

Und du hast nun gegeben:
Wenn für eine Folge mit...

Es geht also darum, ob man eine beliebige Folge nehmen kann, um Stetigkeit zu prüfen.

Antwort: Nein, das geht nicht. Du musst also eine in b unstetige Funktion und eine passende Folge angeben.

06.12.2010, 08:50

mathematikgrundkurs

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Hmh danke!!!

Das ist ja genau der Knackpunkt, also das die Aussage nicht stimmt, war eben genau deshalb klar, weil es nur um "eine" Folge geht.

Aber ich komme nicht auf ein passendes Gegenbeispiel.
Ich habe ja schon in meinen Beiträgen mal eine Folge angegeben. Die strebte gegen b=3.
Aber ich finde jetzt keine Funktion, die in f(3) unstetig sein sollte.
Daraufhin dachte ich vlt. an eine Polstelle einer gebroch-rationalen Funktion...z.B. 3+1/(x-3).
Aber ist die drei ja nicht im Definitionsbereich.

Hmh, habt ihr eine Idee für eine Funktion?

Danke im Voraus!

06.12.2010, 18:45

mathematikgrundkurs

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Zitat:

Antwort: Nein, das geht nicht. Du musst also eine in b unstetige Funktion und eine passende Folge angeben.

So eine Funktion wäre doch $\begin{eqnarray*} f(b)=b+\frac{1}{x-3} \end{eqnarray*}$ , oder?

Ich habe ne Polstelle. Und was ist dazu dann die Folge, die einem beweisen lässt, dass f eben nicht für eine Folge stetig in f(b) ist?

Danke im Voraus!

06.12.2010, 20:30

mathematikgrundkurs

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Wenn ich für b= 3 setze, dann sieht so ein Graph ja so aus.

Das Problem: 3 gehört nicht zum Definitionsbereich. Aber steig ist die Funktion ja nicht in 3.

Eine Folge, die ebenfalls gegen 3 für n-> unendlich geht, wäre doch sowas wie ich schonmal geschrieben habe, nämlich:

(bn)=3+(1/n) ...

Bitte helft mir, was ich falsch mache...oder zumindest einen besseren Ansatz mit einer Folge oder einer Funktion

06.12.2010, 21:44

mathematikgrundkurs

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Die Lösung ist doch bestimmt wieder einmal so trivial, dass ich mir hier die Stunden mit Kopfzerbrechen vor der Aufgabe hätte sparen können...ich komme einfach nicht drauf...mehr Lösungsansätze fallen mir auch nicht mehr ein... unglücklich

HELP

07.12.2010, 00:27

mathematikgrundkurs

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Zitat:

Es geht also darum, ob man eine beliebige Folge nehmen kann, um Stetigkeit zu prüfen.

Was ist denn dann mit meinen Vorschlägen?
Ich meine, sagt mir doch wenigstens, ob die falsch sind, oder wo ich ansetzen kann?

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