Flaggen in einem Vektorraum (endlich erzeugt / Dimension)

02.12.2010, 19:02

Martin L

Flaggen in einem Vektorraum (endlich erzeugt / Dimension)

Meine Frage:
Moin Moin

Wir haben eine Aufgabe bekommen, bei der ich wirklich vor einem Rätsel stehe, weil mir auch nicht alles bekannt ist was darin vorkommt.

Die Aufgabe lautet:

Eine Flagge in einem Vektorraum V ist eine endliche Folge $\begin{eqnarray*} U_0,U_1,U_2,...,U_n \end{eqnarray*}$ von Unterräumen von V, so dass für $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} U_{i-1}\supset U_i \end{eqnarray*}$ . Die Zahl n heißt die Länge der Flagge.

Beweise:

a) Ist V nicht endlich erzeugt, so gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ eine Flagge der Länge n in V.

b) Der Vektorraum V ist genau dann endlich erzeugt von der Dimension n, wenn es eine Flagge der Länge n, aber keine Flagge der Länge n+1 gibt.

Meine Ideen:
So, das ist die Aufgabe und sowas wie Flaggen hatten wir halt noch nicht, ich probiere also erst mal hier mit eigenen Worten mein Verständnis von "Flagge" offen zu legen und hoffe, dass ich wenigstens das richtig verstanden habe.

Man hat eine Anzahl von Unterräumen und wenn man die alle der reihe nach vergleicht, dann beinhaltet der "nächste" Untervektorraum immer alle Elemente des Vorhergehenden und noch mindestens ein zusätzliches Elemente.

Bsp:
{1}, {1,3}, {1,3,4,5}, {1,3,4,5,8}, {1,3,4,5,8,7,9} ....

Ich hoffe, das ist schon mal soweit korrekt.

zu a: Wenn V nicht endlich erzeugt ist, dann gibt es ja unendlich viele Basiselemente. Also kann ich für jedes n einfach für den ersten Unterraum ein Element der Basis nehmen, für den zweiten dann zwei Elemente (wobei einer davon der aus dem ersten Unterraum ist) der Basis für den dritten drei (wobei der erste und der zweite aus dem Unterraum zwei sind) und so weiter. Dann hab ich ja in jedem Untervektorraum alle Elemente aus dem davor und noch eins dazu. Wenn das richtig ist, wie schreibe ich das dann mathematisch auf?

zu b)
In diesem Falle, hat die Basis von V ja nur genau n Elemente. Wenn ich jetzt n+1 Elemente aus V in meinen Unterraum packe, dann sind ja zwei Elemente sozusagen gleich, da Linear Abhängig. Damit wär ja die Bedingung für eine Flagge nicht mehr erfüllt, da ja dann der Unterraum genau die Elemente enthalten würde, die der davor schon enthält.

Die Richtung "wenn eine Flagge der Länge n existiert, dann ist dimV = n" geht ja dann ähnlich. Wenn ich immer alle Elemente aus den Unterräumen davor nehme und eins dazu packe, und ich finde nur genau n unterschiedliche Elemente, dann sind das ja alle linear Unabhängigen Elemente in V, also die Basis von V und damit die Dimension von V.
Falls auch das richtig ist, hab ich hier wieder das starke Problem der mathematischen Darstellung.

Ich hoffe ihr könnt mir da ein wenig unter die Arme greifen.

Gruß
Martin

02.12.2010, 22:09

jester.

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Hallo Martin,

erstmal ein kurzer Hinweis zur Schreibweise, ich habe gelernt, und so wird es von den meisten Dozenten an meiner Uni auch gehandhabt, dass $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ das gleiche bedeuten, und zwar einfach nur "Teilmenge".
Für eine Fahne benötigt man jedoch echte Teilmengen, was ich als $\begin{eqnarray*} \subsetneq \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \subsetneqq \end{eqnarray*}$ kennzeichnen würde.

Zitat:

Man hat eine Anzahl von Unterräumen und wenn man die alle der reihe nach vergleicht, dann beinhaltet der "nächste" Untervektorraum immer alle Elemente des Vorhergehenden und noch mindestens ein zusätzliches Elemente.

Das stimmt, aber nur für den Fall, dass dir das nicht ganz klar ist: Über einem Körper mit mehr als zwei Elementen wird der "nächste" Raum mehr als nur ein zusätzliches Element enthalten, ganz einfach aufgrund der Tatsache, dass es sich um einen Unterraum handelt, was mich direkt zum nächsten Punkt führt.

Zitat:

Bsp:
{1}, {1,3}, {1,3,4,5}, {1,3,4,5,8}, {1,3,4,5,8,7,9} ....

Ich hoffe, das ist schon mal soweit korrekt.

Das sieht für mich ohne vorgegebene Struktur erstmal nur wie eine Mengenfolge, nicht jedoch eine Fahne aus.

Vielleicht mal ein Miniaturbeispiel für eine Fahne im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \{0\} \subsetneqq \langle \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \rangle \subsetneqq \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \langle ... \rangle \end{eqnarray*}$ bei mir für den vom entsprechend eingetragenen Vektor erzeugten Unterraum steht.

Nun mal zur Aufgabe (a), für die du die richtige Idee schon aufgeschrieben hast. Ich würde das schon in so einer Art Text formulieren, dabei am Anfang auf folgende Dinge hinweisen:
$\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist nicht endlich erzeugt, das heißt der Raum besitzt eine unendliche Basis. Diese könnte insbesondere überabzählbar sein, aber das macht nichts, denn ich würde einfach sagen, dass $\begin{eqnarray*} (v_i)_{i\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge von Basisvektoren sei.
Das würde ja heißen, dass dann $\begin{eqnarray*} \langle v_1 \rangle \subsetneqq \langle v_1,v_2 \rangle \subsetneqq ... \end{eqnarray*}$ eine Fahne ist (kommentiere in deinem Beweis kurz, warum das so ist). Kannst du diese Fahne in Mengenschreibweise notieren?

In (b) stecken auch die richtigen Ideen, nur mit der Formulierung klappt es nicht so ganz. Wenn du zum Beispiel in einem n-dimensionalen Vektorraum n linear unabhängige Vektoren zusammengesammelt hast, sind das nicht alle linear unabhängigen Elemente von V. Es gibt ja oftmals viele Kombinationen von n linear unabhängigen Elementen (das sind dann die verschiedenen Basen des Raums).

Bei der Richtung "Flagge existiert $\begin{eqnarray*} \Rightarrow ~\dim V = n \end{eqnarray*}$ solltest du noch die Nichtexistenz einer Fahne der Länge n+1 einbauen (z.B. durch einen kleinen Widerspruchsbweis), denn die Existenz einer Fahne der Länge n liefert dir erstmal nur $\begin{eqnarray*} \dim V \geq n \end{eqnarray*}$ .

Hoffentlich kommst du mit diesen Tipps schonmal weiter.

02.12.2010, 22:24

Martin L

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Joa ich glaube damit komme ich schon mal etwas weiter. Das mit der Schreibweise da geb ich dir recht, mir fehlte nur irgendwie der Tex Befehl und im Formeleditor gabs halt nur \subset und \subseteq, da hab ich dann mich für das bessere entschieden. Jetzt weiß ichs für die Zukunft.

Dein Beispiel hilft mir glaube ich zum Verständnis sehr, das mit dem Unterraum hatte ich bei meinem Beispiel einfach außer Acht gelassen. Ich probiers noch mal im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$

ist das dann z.b.:
$\begin{eqnarray*} \{0\} \subsetneqq \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle \subsetneqq \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle \subsetneqq R^3 \end{eqnarray*}$

Ist halt doof, wenn sowas wie Flagge am Anfang der Aufgabe definiert wird. Aber gut, dass meine Ideen schon mal richtig sind, das ist denk ich die Hauptsache und an der Formulierung versuche ich mich morgen mal.

Danke sehr.

02.12.2010, 22:27

jester.

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Ja, was du angegeben hast, ist eine Flagge im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Freude

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