Extrema berechnen

02.12.2010, 19:31

Cheftheoretiker

Extrema berechnen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gegeben.

$\begin{eqnarray*} f(x)=1,25x^4+\frac{5}{6}x^3-35x^2+10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^3+\frac{5}{2}-70x |:5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0=x^3+0,5x^2-14x \end{eqnarray*}$

Nun soll ich die Extremstellen berechnen.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0=x(x^2+0,5x-14) \end{eqnarray*}$

Ich habe nun folgende Nullstellen berechnet,

$\begin{eqnarray*} x_1=3,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

Nun zur Frage, woher weis ich denn nun ob es ein lokales oder glaobales extrema ist? ich würde jetzt einfach durch einsetzen und schauen welches der höchste funktionswert ist als maximum setzen und den kleinsten funktionswert als minimum. ist das so richtig oder woher weis ich nun ob es global oder lokal ist? verwirrt

02.12.2010, 20:11

lgrizu

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RE: Extrema berechnen
Der größte Funktionswert innerhalb des Definitionsbereichs von f ist dein globales Extremum.
Du kannst also die errechneten Extrema vergleichen und dann die Ränder des Definitionsbereichs überprüfen.

02.12.2010, 20:16

corvus

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RE: Extrema berechnen

Zitat:

Original von hangman

$\begin{eqnarray*} f(x)=1,25x^4+\frac{5}{6}x^3-35x^2+10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=3,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

Nun zur Frage, woher weis ich denn nun
ob es ein lokales oder glaobales extrema ist?

du hast eine ganzrationale Funktion 4.Grades
aus dem Vorzeichen von dem Summanden x^4 weisst du,
dass ie Funktion aus dem II.Quadranten kommt
und im I.Quadranten verschwindet..
Also: es wird kein globales Maximum geben können.

das lokale Maximum muss bei x=0 liegen

und jetzt musst du einfach noch durch Einsetzen in f(x) ausrechnen,
welches der beiden Minima den kleineren Wert liefert ..
der wird dann das globale Minimum abgeben und der andere dass lokale Minimum.

ok?

nebenbei: bei deinem Beispiel gibt es ja das "Ränderproblem" nicht smile

02.12.2010, 20:22

lgrizu

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RE: Extrema berechnen
@ corvus:
Da hätte hangman auch selbst drauf kommen können

02.12.2010, 20:49

Cheftheoretiker

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RE: Extrema berechnen
Also ich habe jetzt einmal die Funktionswerte ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} x_1=3,5 \end{eqnarray*}$ ist der Funktionswert $\begin{eqnarray*} =-\frac{37525}{192} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-4 \end{eqnarray*}$ ist der Funktionswert $\begin{eqnarray*} =-\frac{850}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ ist der Funktionswert $\begin{eqnarray*} =10 \end{eqnarray*}$

Ich würde nun sagen, dass das maximale extrema bei 10 liegt. Was ist nun mit den anderen Punkten? ist es nun ein globales extrema?

@dorvus, dass habe ich irgendwie nicht so richtig verstanden, wie kann ich dass anhand des polynomgrades erfahren? verwirrt

03.12.2010, 02:08

lgrizu

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RE: Extrema berechnen
Du hast nun ein Maximum berechnet, um zu prüfen ob es sich um ein globales Maximum handelt musst du noch schauen, ob die Funktion irgendwo auf ihrem Definitionsbereich größere Werte annimmt.

Der Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} [- \infty, \infty] \end{eqnarray*}$ .

Betrachte also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$ , wie schauen diese Grenzwerte aus?

03.12.2010, 12:49

Cheftheoretiker

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RE: Extrema berechnen

Zitat:

Original von lgrizu
Du hast nun ein Maximum berechnet, um zu prüfen ob es sich um ein globales Maximum handelt musst du noch schauen, ob die Funktion irgendwo auf ihrem Definitionsbereich größere Werte annimmt.

Der Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} [- \infty, \infty] \end{eqnarray*}$ .

Betrachte also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$ , wie schauen diese Grenzwerte aus?

Aha, also kann ich sagen, da die funktion gegen unendlich strebt, gibt es per se keinen globalen maxima sondern nur ein lokales? Kann man dass wenn nur zeichnerisch bearbeiten oder gibt es dabei einen rechentrick wenn ich wie in diesem fall drei nullstellen gegeben habe? ich habe auch gelesen dass man die zweite ableitung bilden muss um zu schauen ob es sich um maxima oder minima handelt - wenn ja, wie soll man dass denn zeigen? - oder wie ist das gemeint? verwirrt

03.12.2010, 13:41

lgrizu

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RE: Extrema berechnen
Der Rechentrick ist, den Grenzwert zu betrachten, das muss man nicht zeichnerisch machen, man kann sich auch überlegen, dass der höchste Exponent von Polynomen am schnellsten wächst, das ist in deinem Fall x^4.

Setzt man nun in x^4 eine negative oder positive Zahl ein so wird diese positiv, der Grenzwert gegen -unendlich ist also +unendlich, also gibt es, wie du richtig erkannt hast kein globales Maximum.
Insgesamt reicht es also bei polynomen den höchsten Exponeneten zu betrachten.

Die zweite Ableitung wird für die hinreichende Bedingung genutzt, ist diese an der kritischen Stelle positiv, so handelt es sich um ein Minimum, ist sie negativ um ein Maximum, ist sie 0 kann man keine Aussage treffen.

03.12.2010, 19:13

Cheftheoretiker

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RE: Extrema berechnen
Ja, dass die Ableitung muss $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ wenn also die Tangente waagerecht ist, wie sieht es aber mit der hinreichenden bedingung aus wie du es mit der zweiten Ableitung meintest,

$\begin{eqnarray*} f''(x)=15x^2+5x-70 \end{eqnarray*}$

was muss ich denn nun mit der zweiten Ableitung machen und wie kann ich diese verstehen? verwirrt

03.12.2010, 23:54

lgrizu

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RE: Extrema berechnen
f'(x)=0 ist das notwendige Kriterium für ein Extremum, die Nullstellen der 1. Ableitung liefern die sogenannten kritischen Stellen, diese Stellen setzt man in die zweite Ableitung ein, um zu überprüfen, um was für ein Extremum es sich handelt.

Machen wir das mal am Beispiel der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4+\frac{2}{3}x^3-28x^2+8 \end{eqnarray*}$

Zuerst bilden wir die Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4x^3+2x^2-56x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x^2+4x-56 \end{eqnarray*}$

Dann berechnen wir die Nullstellen der 1. Ableitung, diese sind:

$\begin{eqnarray*} x=0 ~ \vee x=3,5 ~ \vee x=-4 \end{eqnarray*}$

Nun betrachten wir die 2. Ableitung an den kritischen Stellen:

$\begin{eqnarray*} f''(0)=-56<0 \Rightarrow an ~ der ~Stelle~x=0~ist~ein~Maximum \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(3,5)=105>0 \Rightarrow an ~ der ~Stelle~x=3,5~ist~ein~Minimum \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(-4)=120>0 \Rightarrow an ~ der ~Stelle~x=-4~ist~ein~Minimum \end{eqnarray*}$ .

04.12.2010, 12:33

Cheftheoretiker

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RE: Extrema berechnen
Okay, dass habe ich verstanden wie man schaut ob es sich um ein maxima oder minima handelt. Aber wieso nutzt man dafür die zweite Ableitung? verwirrt

04.12.2010, 13:27

Cheftheoretiker

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RE: Extrema berechnen
Ich habe nochmal nachgerechnet,

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4+\frac{2}{3}x^3-28x^2+8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4x^3+2x^2-56x \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung liefert also die momentane Steigung der Funktion.
$\begin{eqnarray*} x=0 ~ \vee x=3,5 ~ \vee x=-4 \end{eqnarray*}$

Sind die Nullstellen der ersten Ableitung und dort wird vermutet, dass sich an diesen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Stellen ein Minima bzw. Maxima befindet. Da man es aber so nciht feststellen kann, ob sich tatsächlich an diesen Stellen ein extrema befindet, bildet man die zweite Ableitung und schaut sich die Tangente mit einer Änderungsrate von 0 ein weiteres mal an. Nun kann man sehen wie sich der Graph entwickelt, entweder ist $\begin{eqnarray*} f''(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ dann ist liegt ein Minima vor, da die Graph sich nach links zieht bzw. $\begin{eqnarray*} f''(x_0)<0 \end{eqnarray*}$ ein maxima, da sich der Graph nach rechts ändert Lehrer

. . So kann man untersuchen ob es sich um ein lokales minima oder maxima handelt. Wenn die zweite Ableitung dennoch 0 ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt da die Tangente an diesem Punkt immer noch waagerecht verläuft und somit kein schluß darauf gezogen werden kann, wie sich der Graph weiter entwickelt? Habe ich es nun richtig verstanden? smile

05.12.2010, 00:00

lgrizu

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RE: Extrema berechnen

Zitat:

Original von hangman
Wenn die zweite Ableitung dennoch 0 ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt

Das kann man so nicht sagen, man kann keine Aussage treffen, wenn die 1. und die 2.
Ableitung 0 ist, es kann ein Sattelpunkt sein, aber auch ein Extrempunkt, betrachte als Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4 \end{eqnarray*}$ , diese hat bei x=0 ein Minimum, es ist jedoch

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x^2 \end{eqnarray*}$

die Nullstelle der 1. Ableitung ist auch die Nullstelle der 2. Ableitung, also $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Was du damit meinst dass "der Graph sich nach rechts ändert" verstehe ich nicht....

05.12.2010, 09:47

Cheftheoretiker

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RE: Extrema berechnen
Ja stimmt, die Notwendigkeit eines Extrema ist, dass $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Hinreichend ist es aber nicht, da es sich an der Stelle auch ein Sattelpunkt befinden könnte.

Ich meine den verlauf des Graphen. Bei einem Maxima muss der Graph zwangsläufig nach Rechts gehen also wieder nach unten weil es sonst kein maximaler Punkt des Graphen wäre.

Was sagt mir dass denn nun, wenn die zweite Ableitung $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ ist?

05.12.2010, 11:34

lgrizu

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RE: Extrema berechnen

Zitat:

Original von hangman

Was sagt mir dass denn nun, wenn die zweite Ableitung $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ ist?

Wenn die 1. und die 2. ableitung an der Stelle =0 sind, so kann man keine Aussage treffen, um was für einen Punkt es sich handelt, man muss sich die höheren Ableitungen anschauen.

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