Stetig oder nicht?

02.12.2010, 20:47

pytago

Stetig oder nicht?

Hallo ihr! smile

wir haben gerade in der Vorlesung den Stetigkeitsbegriff eingeführt, und haben jetzt Aufgaben dazu bekommen. Leider kann ich mir gar nicht vorstellen wie so ein Lösungsweg ansatzweise aussieht und brauche deshalb eure Hilfe.

Folgende Aufgabe:

Es sei f : R --> R eine Funktion. Von den folgenden 6 Aussagen sind genau drei
falsch. Finden Sie diese und belegen Sie mit einem Gegenbeispiel dass sie falsch sind. (Die richtigen Aussagen müssen nicht bewiesen werden).

a) Ist f bijektiv, so ist f stetig.

b) Ist f stetig, so ist auch x --> max{f(x), f(-x)} stetig.

c) Ist x --> max{f(x), f(-x)} stetig, so ist auch f stetig.

d) Gilt |f(x)| \leq |x| für alle x \in R, so ist f stetig in 0.

e) Ist f ° f stetig, so ist f stetig.

f) Ist f stetig, so gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty } f( \sum\limits_{k=0}^N \frac{1}{2^k} ) = f(2) \end{eqnarray*}$

Nun meine "Ideen":

zu f):
ist denke ich falsch, denn man kann es mit dem Satz der Folgenstetigkeit widerlegen.

der Grenzwert der Folge 1/2^k müsste 2 sein. Diese Folge geht aber doch gegen Null oder?

zu e) wenn f stetig ist, dann ist auch f ° f stetig stimmt. aber anders herum?

zu d) versteh ich gar nicht was gemeint ist. Das alle Funktionswerte f(x) unterhalb von y=0 liegen?

zu c) und b). Eins der beiden wird wohl falsch sein? Augenzwinkern

zu a) stimmt meiner Meinung nach.

Wie ihr seht, hab ich nicht viel Ahnung.

Hoffe auf eure erkärende Hilfe!

Liebe Grüße

04.12.2010, 17:38

pytago

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kann mir den niemand helfen?! unglücklich

04.12.2010, 17:54

schultz

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bei f geht die folge zwar gegen null, was du da hast ist aber eine reihe...genauer eine geometrische reihe, deren grenzwert sicher nicht 0 ist.

04.12.2010, 18:39

pytago

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RE: Stetig oder nicht?
ja stimmt, hab ich auch gemerkt!

sie geht gegen 1 oder?
weil:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^N \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k+1} + \frac{1}{2^k+2} + ... + \frac{1}{2^{2k} } \leq (2^{k+1}) \cdot \frac{1}{2^k} = \frac{2^{k+1}}{2^k} = \frac{2^1}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

04.12.2010, 18:48

schultz

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RE: Stetig oder nicht?

Zitat:

Original von pytago
ja stimmt, hab ich auch gemerkt!

sie geht gegen 1 oder?
weil:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^N \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k+1} + \frac{1}{2^k+2} + ... + \frac{1}{2^{2k} } \leq (2^{k+1}) \cdot \frac{1}{2^k} = \frac{2^{k+1}}{2^k} = \frac{2^1}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

das ist quatsch was du da machst...wenn dann müsste es so $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^N \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^0} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{N} } \end{eqnarray*}$ aussehen.
was du dann da abschätzt verstehe ich auch nicht...kennst du nicht die formel für den wert einer geometrischen reihe?

04.12.2010, 19:03

knck

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Vielleicht noch als kleiner Tipp:
Grenzwert einer geometrischen Reihe ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} 1/ (1-q) \end{eqnarray*}$

05.12.2010, 01:09

pytago

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oh stimmt, da hab ich einiges falsch gemacht. nochmal:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^N \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}} + \frac{1}{2^{k+2}} + ... + \frac{1}{2^N} \end{eqnarray*}$

so meinte ich das. Ist ja das Gleiche wie deines.

eine Abschätzung in dieser Art haben wir mal in einem Tutorium gemacht. Aber warum.. glaube wegen Beschränktheit!

der Grenzwert der geometrischen Reihe... ist das nicht das 1. Folgenglied/(1-q) ? woher weißt du, dass es 1 ist? 1/2^1 ist doch 1/2 oder?

und ist mit q der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder gemeint? dann wäre immer q<1 und somit die Reihe konvergent. Aber gegen was?

06.12.2010, 19:08

schultz

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knck hat dir schon geschrieben gegen was die reihe konvergiert und zwar gegen 1/(1-q), wobei q in deinem fall 1/2 ist.
PS. achja und deine schreibweise der summe ist nur richtig, wenn du k auf der rechten seite der gleichung gleich 0 setzt, sonst ergibt es keinen sinn

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