Divergenz

02.12.2010, 21:40

Peteee

Divergenz

Meine Frage:
Man soll die Divergenz bestimmen von $\begin{eqnarray*} F:\mathbb R ^{3}/ 0-->\mathbb R^{3},x-->\frac{cos(k|x|)-1}{|x|^{3}} x \end{eqnarray*}$ ,dabei sei k fest.

Meine Ideen:
Hab es in F und G aufgeteilt,G:x->x und F der vordere Teil.Meine Frage ist nun wenn ich für G die partiellen Ableitungen bestimmen soll,wie muss ich das dann genau machen,also es ist ja $\begin{eqnarray*} G:\mathbb R ^{3}-->\mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$
also zb d(G1)/x1..dann hab ich G1: (x1,x2,x3)->(x1,x2,x3),wie leite ich denn den vektor nach x1 ab?lg pete

02.12.2010, 21:53

René Gruber

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RE: Divergenz

Zitat:

Original von Peteee
Hab es in F und G aufgeteilt,G:x->x und F der vordere Teil

Bitte schildere die Aufteilung mal im Detail, also so, dass sie unmissverständlich ist. Vielleicht bist du ja auf der richtigen Spur, aber so ist das nicht zu verstehen.

02.12.2010, 21:54

Mulder

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RE: Divergenz
Du leitest komponentenweise ab und bildest die Summe der Ableitungen.

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot F = \sum\limits_{i=1}^3 \frac{\partial F_{x_i}}{\partial x_i } \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} F_{x_i} \end{eqnarray*}$ einfach die i-te Komponente des Vektors x.

02.12.2010, 21:57

René Gruber

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Es lohnt sich (vor allem für ähnliche Fälle), gleich die Divergenz für alle Funktionen der Struktur

$\begin{eqnarray*} F(x) = g(r) x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r = |x| \end{eqnarray*}$

mit einer Funktion $\begin{eqnarray*} g:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

02.12.2010, 22:02

Peetee

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wir sollten im ersten teil die formel div(uF)=<grad u,F>+u div(F) beweisen, u hier von R^n-->R und F Vektorfeld von R^n-->R^n..mit wollte ich die hier gegebene Funktion auch in u und F unterteilen mit $\begin{eqnarray*} F:\mathbb R ^{n}->\mathbb R ^{n},x->x \ und \\<br /> u:\mathbb R ^{n}->\mathbb R ,x->\frac{cos(k|x|)-1}{|x|^{3}} \end{eqnarray*}$
doch mein Problem ist wie ich dann bei F die partiellen Ableitungen bilde..wenn ich d(F1)/x1 bestimmen will, hab ich doch immer noch einen Vektor, und wie bestimme ich von (x1,x2,x3) die ableitung nach x1?lg

02.12.2010, 22:05

René Gruber

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Zunächst mal zur Bezeichnung: Die Gesamtfunktion in deinem Eröffnungsposting heißt $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ . Wenn du die aufteilen willst, dann solltest du nicht einen der Teile auch $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ nennen, sonst ist das Bezeichnungschaos vorprogrammiert - auf sowas sollte man gleich zu Beginn achten. unglücklich

02.12.2010, 22:08

Peetee

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okay aber wie sähe denn eine partielle ableitung von nennen wir es dann halt v aus..also v:R^3->R^3,x->x

02.12.2010, 22:25

Mulder

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RE: Divergenz
Da dem bisher wohl wenig bis gar keine Beachtung geschenkt wurde, zitiere ich mich mal selbst:

Zitat:

Original von Mulder
$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot F = \sum\limits_{i=1}^3 \frac{\partial F_{x_i}}{\partial x_i } \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} F_{x_i} \end{eqnarray*}$ einfach die i-te Komponente des Vektors x.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3 \, , \, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot F = \frac{\partial}{\partial_x}x+ \frac{\partial}{\partial_y}y + \frac{\partial}{\partial_z}z = 3 \end{eqnarray*}$

02.12.2010, 22:31

Peetee

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okay danke das ist verständlich..doch mein problem sind die partiellen ableitungen von u,denn hier hab ich ja einen quotienten..das werden dann riesige blöcke und das vereinfacht sich dann nicht..

02.12.2010, 22:43

René Gruber

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Mit $\begin{eqnarray*} r = |x| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \nabla r = \frac{1}{r}~x \end{eqnarray*}$ , daraus folgt dann per Kettenregel $\begin{eqnarray*} \nabla g(r) = \frac{g'(r)}{r}~x \end{eqnarray*}$ für eine reelle Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , usw.

Wenn du das jetzt noch mit deinem

Zitat:

Original von Peetee
wir sollten im ersten teil die formel div(uF)=<grad u,F>+u div(F) beweisen

passend verwurstelst, bist du ziemlich schnell fertig, oder anders gesagt: Du musst dich dann im wesentlichen nur noch um die "normale" Ableitung der reellen Funktion

$\begin{eqnarray*} g(r) = \frac{\cos(kr)-1}{r^3} \end{eqnarray*}$

kümmern.

04.12.2010, 12:33

Peetee

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$\begin{eqnarray*} also \ haette \ ich \\<br /> div(F)=<\bigtriangledown g(r),x>+g(r)div(x) \\<br /> =\sum\limits_{i=1}^3 \frac{-x_{i}(sin(kr)kr+3cos(kr)-3)x_{i}}{r^{5}}+\frac{cos(kr)-1}{r^{3}} 3 \ ?? \ danke \end{eqnarray*}$

04.12.2010, 12:39

René Gruber

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Als Zwischenschritt könnte man hier

Zitat:

Original von Peetee
$\begin{eqnarray*} \operatorname{div}(F) = \langle \nabla g(r), x \rangle + g(r)\operatorname{div}(x) \end{eqnarray*}$

schon mal obiges allgemeines $\begin{eqnarray*} \nabla g(r) \end{eqnarray*}$ sowie auch schon $\begin{eqnarray*} \operatorname{div}(x)=3 \end{eqnarray*}$ einsetzen, um zusammen mit $\begin{eqnarray*} \langle x, x\rangle = |x|^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} \operatorname{div}(F) = g'(r)r+3g(r) \end{eqnarray*}$

zu bekommen, bevor man das konkrete $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einsetzt.

04.12.2010, 19:30

Peetee

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cool danke dann bliebe am ende -sin(k|x|)k übrig ist das dann fertig?kenn mich mit divergenz noch nicht so aus --------------
ist recht neu.danke |x|²

04.12.2010, 19:32

Peetee

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sorry ich meinte -sin(k|x|)k/|x|² weil ich da sonst immer was konkretes bekam ^^
dankeschön

05.12.2010, 23:25

Peetee

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bin ich dann fertig?lg

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