Basen von Unterräumen des Q^4

02.12.2010, 23:10

Martin L

Basen von Unterräumen des Q^4

Moin Moin,

bei folgender Aufgabe habe ich zwar schon eigentlich glaube ich eine Lösung gefunden, aber bevor ich mir was falsch einpräge wüsste ich gerne, was ihr davon haltet.

Seien:
$\begin{eqnarray*} W = \langle \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} W' = \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$

Unterräume des Q^4.

Gib Basen von $\begin{eqnarray*} W \cap W' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W+W' \end{eqnarray*}$ an.

Hinweis: Dimensionsformel für Untervektorräume.

- - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

So, jetzt mal meine Lösung. Ich habe mir gedacht, ich prüfe erst mal die 3 Vektoren aus W auf lineare Abhängigkeit.

Dazu habe ich die drei Vektoren in eine Matrix geschrieben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 6 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann die Spalten (Spaltenumformungen sind richtig oder? Ich hab ja auch Spaltenvektoren als Basis.) addiert und mit skalaren multipliziert und bin auf folgende Form gekommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ist das ja schon mal eine Basis von W. (Wenn man das wieder auseinanderzieht in 3 Vektoren.).

Jetzt habe ich mir erst mal gedacht, wenn ich die Basis von W + W' brauche, dann darf die Dimension ja nicht größer als 4 sein, da wir ja im Q^4 sind.

Also hab ich die 3 Basisvektoren von W von oben mal hingeschrieben und einfach mal die beiden Vektoren von W' mal dazu geschmissen. Dann hab ich da ja 5 Vektoren stehen. Dann hab ich die wieder auf lineare Unabhängigkeit überprüft und rausgefunden, dass ein Vektor von W' sich auch aus den drei Vektoren aus W und dem anderen Vektor aus W' darstellen lässt. Damit hab ich dann ja 4 linear Unabhängige Vektoren (falls ich mich nicht verrechnet habe) und die sind dann auch Basis von W + W' oder? Weil das ist ja sozusagen das Erzeugnis von W vereinigt mit der Erzeugnis von W'.

Ein kleines Problem habe ich jetzt bei der Basis vom Schnitt. Das sind ja sozusagen alle Vektoren, welche sich sowohl mit Elementen aus W wie auch mit Elementen aus W' erzeugen lassen. Da weiß ich aber jetzt nicht, wie ichs berechnen soll.

Muss ich da W und W' irgendwie gleichsetzen?

Ich hoffe, wenigstens das erste ist richtig, das würde heißen, dass ich einigermaßen verstanden habe, worums geht.
Falls man mir nicht folgen kann, einfach sagen, dann schreib ich alle einzelnen Schritte auf, aber bevor ich alle Matrizen schreib und jemand sagt mir, die Herangehensweise ist eh vollkommen falsch lass ichs erst mal so.

Gruß
Martin

03.12.2010, 02:02

tigerbine

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RE: Basen von Unterräumen des Q^4
$\begin{eqnarray*} \dim\left(W+W'\right)=\dim W + \dim W' - \dim\left(W \cap W'\right) \end{eqnarray*}$

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:	A=[2,0,3;3,1,6;-1,0,-2;1,0,2] A = 2 0 3 3 1 6 -1 0 -2 1 0 2 >> rank(A) ans = 3

$\begin{eqnarray*} \dim\left(W+W'\right)=3 + 2 - \dim\left(W \cap W'\right) \end{eqnarray*}$

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:	A=[2,0,3,1;3,1,6,0;-1,0,-2,0;1,0,2,4] A = 2 0 3 1 3 1 6 0 -1 0 -2 0 1 0 2 4 >> rank(A) ans = 4

Damit muss die Dimension des Schnitts 1 sein. Denn für 0 ergibt sich ein Widerspruch zur Dimension 4 und bei 2 zur lu des ersten Vektors von W' zu den 3 lu Vektoren, die W erzeugen.

$\begin{eqnarray*} \dim\left(W+W'\right)=3 + 2 -1 =4 \end{eqnarray*}$

Für die Basis vom Schnitt brauchst du einen Vektor, der in W und W' liegt. Da kann man nun ein Gleichungssystem aufstellen. Hier sieht man aber, weil er in W' liegt, Komponente 2 und 3 null sein müssen. Damit ist der zweite Vektors aus W nicht beim "erzeugen" dabei. Vektor 1 und 3 heben sich aber in diesen Komponenten schon weg. Dann fällt aber noch was weg. Man kann sich aber in W' gut das passende Pendant bauen.

Bei der Summe wird es mit der zweiten rank Rechnung eigentlich schon einfach. Denn W+W' ist der komplette 4D-VR.

Bei deinen Rechnungen ist richtig, dass du auf Spalten achtest. Man kann die Matrix auch transponieren, um wie gewohnt Gauss anwenden zu können.

03.12.2010, 10:17

Martin L

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Also ist die Basis von W' + W schon mal richtig wenn ich das richtig rauslesen.

Dient die Dimensionsformel dann nur zum Beweis, wie viele Vektoren man braucht? Also um zu zeigen, dass W' + W wirklich der komplette Q^4 ist und dass W geschnitten W' nur die Dimension 1 hat?

Allerdings hab ich noch nicht ganz verstanden wie du die Basis für W geschnitten W' raus bekommst.

Müsste man nicht bei W' unten entweder die 4 oder die 1 weg bekommen bei einem der Vektoren? Dann hätte man ja eine Abhängigkeit zu dem (-1, 0, 0, 0) aus W.

Aber wie macht man das mit einem Gleichungssystem?

Und eine Frage hätte ich noch zum transponieren. Kann man nicht auch so sozusagen "normal Gauß" ausführen, nur halt in den Spalten? Oder ist das irgendwie falsch und man sollte die Matrix erst transformieren (was wir aber noch nicht gemacht haben) und dann in den Zeilen Gauß anwenden?

Gruß
Martin

03.12.2010, 10:24

tigerbine

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Zitat:

Dient die Dimensionsformel dann nur zum Beweis, wie viele Vektoren man braucht? Also um zu zeigen, dass W' + W wirklich der komplette Q^4 ist und dass W geschnitten W' nur die Dimension 1 hat?

Die Dimensionsformel stellt einen Zusammenhang her. Jen achdem was man braucht und was man kennt.

Zitat:

Allerdings hab ich noch nicht ganz verstanden wie du die Basis für W geschnitten W' raus bekommst.

Müsste man nicht bei W' unten entweder die 4 oder die 1 weg bekommen bei einem der Vektoren? Dann hätte man ja eine Abhängigkeit zu dem (-1, 0, 0, 0) aus W.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{15} \cdot \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber wie macht man das mit einem Gleichungssystem?

Von Hand will ich das gar nicht machen. Aber der Ansatz sollte dir schon klar sein LK1 = LK2 und dann die Linearfaktoren bestimmen (muss nicht eindeutig sein).

Zitat:

Und eine Frage hätte ich noch zum transponieren. Kann man nicht auch so sozusagen "normal Gauß" ausführen, nur halt in den Spalten? Oder ist das irgendwie falsch und man sollte die Matrix erst transformieren (was wir aber noch nicht gemacht haben) und dann in den Zeilen Gauß anwenden?

Wenn du strikt Gauß machst, dann musst du transponieren. Da im Algo Zeilenvektoren verrechnet werden.

03.12.2010, 11:04

Martin L

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Joa gut, dann weiß ich denk ich Bescheid.

Danke sehr.

mit dem Gauß meinte ich nur, dass man das dann zwar anders nennt aber doch theoretisch das selbe macht wie mit den Zeilen, nur halt mit den Spalten oder?

Also es gelten die selben Regeln wie beim Gaußverfahren mit den Zeilen, nur dass man halt überall das Wort "Zeilen" durch "Spalten" ersetzen müsste ?

03.12.2010, 11:05

tigerbine

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Klar, für die Rechnungen/Idee "an sich" spielt es keine Rolle ob Zeilen oder Spaltenvektor.

03.12.2010, 11:10

Martin L

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oh und noch etwas, bei deinem Beispiel oben, meinst du da nicht 1/15 * die beiden Vektoren? Weil wenn du den zweiten 4* vom ersten abziehst dann hast du da oben doch -15.

Gruß
Martin

03.12.2010, 11:10

tigerbine

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Klar, da war ich was kurzsichtig. Augenzwinkern

03.12.2010, 13:01

Martin L

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So, ich habs mal rechnerisch versucht, nur weiß ich nicht, ob das nur geklappt hat weil ich das Ergebnis schon kannte. Also ob man da einfach nen gutes Auge für braucht, oder ob mich das auf jeden Fall immer zu einem Ergebnis führt wie ich es gemacht habe.

Ich hab erst mal eine Basis von W und eine von W' genommen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 4\\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 4 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt muss ja für ein $\begin{eqnarray*} v \in W \cap W' \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} v \in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \in W' \end{eqnarray*}$

also muss sich v sowohl als Linearkombination von Elementen aus W, wie auch als Linearkombination von Elementen aus W' darstellen lassen. Also habe ich ein Gleichungssystem aufgestellt (ich hoffe das ist so richtig)

$\begin{eqnarray*} 2x_1 + 0x_2 -1x_3 = 1x_4 + 4x_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x_1 + 1x_2 +0x_3 = 0x_4 + 0x_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1x_1 + 0x_2 +0x_3 = 0x_4 + 0x_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1x_1 + 0x_2 +0x_3 = 4x_4 + 1x_5 \end{eqnarray*}$

Aus der dritten Zeile geht ja schon mal hervor, dass $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Also habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} 0 + 0x_2 -1x_3 = 1x_4 + 4x_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 1x_2 +0x_3 = 0x_4 + 0x_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 0x_2 +0x_3 = 0x_4 + 0x_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 0x_2 +0x_3 = 4x_4 + 1x_5 \end{eqnarray*}$

Aus der zweiten Zeile geht ja jetzt hervor, dass auch $\begin{eqnarray*} x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Dann habe ich ja:

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 -1x_3 = 1x_4 + 4x_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 0 +0x_3 = 0x_4 + 0x_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 0 +0x_3 = 0x_4 + 0x_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 0 +0x_3 = 4x_4 + 1x_5 \end{eqnarray*}$

Aus der letzten Zeile geht ja jetz hervor, dass die 4 und die 1 sich aufheben müssen, deshalb muss ja $\begin{eqnarray*} x_4 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_5 = -4 \end{eqnarray*}$ sein (zum Beispiel). Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 -1x_3 = -15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 0 +0x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 0 +0x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 0 +0x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus geht dann hervor, dass $\begin{eqnarray*} x_3 = 15 \end{eqnarray*}$ sein muss (zum Beispiel).

Dann wären ja alle Elemente, die sich aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -15 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erzeugen lassen, im Schnitt aus W und W'.

Ist das alles so korrekt? Oder Macht man das normalerweise anders?

Gruß
Martin

05.12.2010, 18:32

tigerbine

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Zum nachrechnen fehlt mir die Zeit. Es ist aber nicht schwer.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2 +\lambda_3 b_3 = \lambda_4 b_4 + \lambda_5 b_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2 +\lambda_3 b_3 =-\lambda_4 b_4 -\lambda_5 b_5 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B\lambda=0 \end{eqnarray*}$

wobei die Basisvektoren die Spalten von B sind. Das kann man dann mit Gauss lösen. Ggf. mit Parametern.

06.12.2010, 19:59

Hans Peter

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Hallo.

Hey, Martin L kann es vllt. sein, dass du dich beim Berechnen der Basis von W vertan hast? Denn ich habe zum Schluss folgede Basis von W:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit würde ja die 3 Spalte wegfallen.....

Meine Vorgehensweise:
Ich habe die Matrix transporniert und wie gewohnt gerechnet (LGS)....

06.12.2010, 20:24

Hans Peter

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...Somit ist mein $\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} \in W\cap W' \end{eqnarray*}$ ....

06.12.2010, 21:05

meier

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Hm... ich komme auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{1}{15} \\ \frac{-1}{15} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Basis von W geschnitten W'

Allerdings mit einem ganz anderen Rechenweg- keine Ahnung, ob der überhaupt stimmt...

06.12.2010, 21:26

Hans Peter

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Okay, wir müssen beachten, dass es mehre Bsen geben kann (glaube ich, verbessert mich, falls ich da falsch liege), deswegen könnten evt. alle 3 $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ richtig sein....
Nur die Sache, die mich stutzig machte, ist das meine Basis von W anders, als die von Martin L ist......

06.12.2010, 23:48

Martin L

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Mhh also ich hab noch mal gerechnet, also nicht nachgerechnet sondern ganz neu, nur um mal die Dimension zu prüfen. Ich hab wieder 3 Basisvektoren raus.

diesmal:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Vergleich dazu noch mal die alte Basis:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also die Dimension passt, jetz müsste man doch eigentlich zur Probe mal gucken können, ob man die Basisvektoren der einen Basis durch Linearkombinationen der anderen Basis erreichen kann.

$\begin{eqnarray*} 3*\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ -1\\1\end{pmatrix}+6*\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist ja schon mal der dritte Basisvektor der neuen Basis.

Der erste geht auch. Einfach $\begin{eqnarray*} -6*\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit müssten das doch jetzt beides Basen unseres Untervektorraumes sein oder? Oder kann man das so nich überprüfen?

Gruß
Martin

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