von Nullstelle ein Polynom bestimmen

03.12.2010, 10:25

Riemannson

von Nullstelle ein Polynom bestimmen

Hallo,

ich soll ein Polynom f bestimmen $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ das in $\begin{eqnarray*} \alpha = 3+i-\sqrt{6} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle hat. Also mein Vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \alpha = x = 3+i-\sqrt{6} \Rightarrow x^2=14+6i-6\sqrt{6}-2i\sqrt6 \Rightarrow (x^2-14-6i)^2=(-6\sqrt6-2i\sqrt6)^2 \Rightarrow 12ix^2+312i=x^4-28x^2-32 \Rightarrow (12ix^2+312i)^2=(x^4-28x^2-32)^2 \Rightarrow 0=x^8-56x^6+864x^4+9280x^2+98368 \end{eqnarray*}$

das heißt f ist: $\begin{eqnarray*} x^8-56x^6+864x^4+9280x^2+98368 \end{eqnarray*}$

stimmt das? dieses Polynom sieht etwas kompliziert aus! Sind meine Überlegungen richtig oder gibt es eine anderen Weg? verwirrt

03.12.2010, 13:13

Kissa77

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RE: von Nullstelle ein Polynom bestimmen
Hallo

Ist dir bekannt, Polynom vom welchen Grad n soll rauskommen??

03.12.2010, 13:18

derNikolaus

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Hallo,

du hast dich verrechnet.
Mein CAS sagt mir, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

Bei solchen großen Zahlen muss ja irgendwas schief gelaufen sein...

Bye.

03.12.2010, 13:22

derNikolaus

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Zusatz vom vorherigen Post:

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist eine Nullstelle des Polynoms ...
Edit (jester.): Lösung entfernt, auch wenn die Aufgabe wohl nicht darin besteht, das Polynom nur anzugeben. Lies bitte mal unser Boardprinzip und hilf ihm lieber, das richtige Polynom zu finden, anstatt es ihm nur fertig vorzusetzen.

03.12.2010, 16:15

Riemannson

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RE: von Nullstelle ein Polynom bestimmen
ja verrechnet hab ich mich in der tat:

Zitat:

Original von Riemannson
Hallo,

ich soll ein Polynom f bestimmen $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ das in $\begin{eqnarray*} \alpha = 3+i-\sqrt{6} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle hat. Also mein Vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \alpha = x = 3+i-\sqrt{6} \Rightarrow x^2=14+6i-6\sqrt{6}-2i\sqrt6 \Rightarrow (x^2-14-6i)^2=(-6\sqrt6-2i\sqrt6)^2 \Rightarrow 12ix^2+312i=x^4-28x^2-32 \end{eqnarray*}$
...

es sollte doch nicht 312i sein sondern -24i

dann hab ich folgendes Polynom: $\begin{eqnarray*} x^8-56x^6+864x^4+1216x^2+1600 \end{eqnarray*}$

vllt kannste das ja mal in dein CAS stecken Wink

03.12.2010, 16:19

Riemannson

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mir ist grad aufgefallen das ggT von deinem Polyn. und meinem ungleich 1 und da deins ja anscheinend eine nullstelle an der gesuchten stelle besitzt sollte meins auch 0 sein...

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