Injektivität beweisen

03.12.2010, 12:07	Kissa77	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität beweisen Meine Frage: Hallo, zusammen Ich muss prüfen ob meine Abbildung F injektiv oder surjektiv ist?? wie geht man da vor?? Meine Ideen: Es muss die Bedingung erfüllt werden: f(x1)=f(x2) x1=x2 Ich habe ein Beispiel: F((x1,x2,x3,x4)^T:=(x1-x2,x2+x4,x3+2x1)^T Wie soll ich vorgehen?? Vielen Dank
03.12.2010, 12:11	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Injektivität musst du prüfen, ob mit $\begin{eqnarray} f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray}$ . Also fängst du an: Sei $\begin{eqnarray} f(x)=f(y) \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1-x_2 \\ x_2+x_4 \\ x_3+2x_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y_1-y_2 \\ y_2+y_4 \\ y_3+2y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also .... edit: Bevor du zu viel rechnest, was fällt denn auf im Bezug auf Anzahl der Gleichungen / Variablen?
03.12.2010, 12:13	derNikolaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es, einfach die Definition anzuwenden? Sei F((x1,x2,x3,x4)^T = F((y1,y2,y3,y4)^T. Gilt nun x_i = y_i für alle i=1,...,4 oder nicht? [PS: Rechnen musst du schon selbst, das macht hier keiner für dich.] Bye!
03.12.2010, 12:15	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitions- und Bildmenge sollten mitangegeben werden.
03.12.2010, 12:16	Kissa77	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe auch eine andere Frage dazu: geht das irgendwie mit einer Abbildungsmatrix?? Ich muss es auch irgendwie mit dem Rang prüfen können?? Stimmt es, wenn die Abbildungsmatrix den vollen rang hat, dann ist sie injektiv?? Dankeschön :-)
03.12.2010, 12:30	derNikolaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstens solltest du wirklich zuerst mal Definitions- und Wertemenge angeben. Das ist nämlich sehr wichtig. Und zweitens: Ja, das mit dem Rang stimmt. Wenn die Darstellungsmatrix der Abbildung vollen Spaltenrang hat, dann ist injektiv. Wenn es eine Abbildung zwischen Vektorräumen (?) der gleichen Dimension ist, dann kannst du das auch über den Zeilenrang prüfen. (In diesem Fall würde automatisch schon Surjektivität und damit Bijektivität folgen...) Die Darstellungsmatrix bezüglich der kanonischen Standardbasis hinzuschreiben, ist nicht schwierig. Versuch's einfach mal. Mehr als falsch kann es ja nicht sein :-)
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03.12.2010, 12:55	Kissa77	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Habe gerade den Rang bestimmt. hat alles geklappt. dankeschön :-)

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