Oberflächenberechnung mit gegebenem Volumen

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18.11.2006, 15:06	Gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberflächenberechnung mit gegebenem Volumen hi, ich hab hier eine aufgabe gestellt bekommen aber verzweifle an dem lösungsweg..ich komme einfach nicht drauf! wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet! Die Form eines "Wurstzipfels" lässt sich beschreiben als ein Zyöinder mit nahtlos angesetzter Halbkugel. Wie sollte man die Daten r,h, BEI GEGEBENEM VOLUMEN wählen, damit die die "Oberfläche" mäglichst klein wird? also, vom zylinder ist nur die mantelfläche zu berechnen und die oberfläche von der halbkugel!
18.11.2006, 16:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, $\begin{eqnarray} O = 2r \pi h + 2r^2 \pi \end{eqnarray}$ .. Hauptbedingung [Edit: Ohh, da fehlt noch der Grundkreis $\begin{eqnarray} r^2 \pi \end{eqnarray}$ , daher ist richtig: $\begin{eqnarray} O = 2r \pi h + 3r^2 \pi \end{eqnarray}$ .. Hauptbedingung] $\begin{eqnarray} r^2 \pi h + \frac{2}{3}r^3 \pi = V \end{eqnarray}$ .. Nebenbedingung mY+
18.11.2006, 20:25	Gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
die Haupt- und Nebenbedingung habe ich auch aufgestellt, aber ich komme nicht weiter, habe nach r und h aufgelöst aber irgendwie klappt das nicht so wie ich es mir vorstelle! könnte mir einer bitte die nächsten schritte schreiben?! danke
18.11.2006, 20:26	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann zeig doch mal her was du gemacht hast.
19.11.2006, 15:19	Gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Ansatz: V=r²PIh + 2/3 PIr³ =r²(PIh+2/3 PIr) r²=V / (PIl + 2/3 PIr) <-- "/" soll einen Bruchstrich darstellen das kam mir hier was komisch vor, da nach r aufgelöst wurde und r im nenner vorkommt 2. Ansatz Vzylinder = r²PIl nach r aufgelöst und in die Oberflächenformel eines zylinders eingesetzt dann nach r aufgelöst --> r = Wurzel(Vzylinder / PIh) <-- "/" soll einen Bruchstrich darstellen -> O = 2PIhWurzel(Vzylinder / 2PI) <-- "/" soll einen Bruchstrich darstellen Vhalbkugel = 2/3 * PI * r² nach r aufgelöst und in die Oberflächenformel eines zylinders eingesetzt --> r=Wurzel(Vhalbkugel / 2PI) --> O = 2/3 PI[Wurzel(Vhalbkugel / 2PI)]³ Ogesamt = 2PIhWurzel(Vzylinder / 2PI) + 2/3 PI[Wurzel(Vhalbkugel / 2*PI)]³ das habe ich bis ez gemacht
19.11.2006, 17:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob dies von dir alles stimmt, habe ich jetzt nicht nachgerechnet, weil du es so nicht verwenden kannst, denn du kennst weder das Volumen der Halbkugel, noch des Zylinders einzeln, sondern nur das Gesamtvolumen. Daher muss man aus der Term für das Gesamtvolumen (Nebenbedingung) nach einer Größe (nur nach h geht's sinnvoll, mit r wird's zu einer quadr. Gleichung, wie du ja selbst festgestellt hast) umstellen und dies dann in die Hauptbedingung (O = ... ) einsetzen, die letztendlich zu einer Funktion in dieser Größe (r) wird. Erst wenn in O = ... nur noch eine Variable (r) steht, kann man nach dieser ableiten und so weiter. Hier wird die Rechnung wegen der Brüche und Potenzen ein wenig anspruchsvoll. Verwende zur Erleichterung auch unbedingt die Vereinfachung der Ansatzfunktion, wenn vor dieser konstante Faktoren (auch Konstanten im Nenner gehören dazu) stehen, dann können diese (allerdings nur für die Berechnung der Extremstelle) weggelassen werden. Wichtig ist, dass diese Konstanten immer nur die ganze Funktion betreffen dürfen. Leider habe ich bei der Oberfläche einen Flüchtigkeitsfehler gemacht, denn die Oberfläche besteht aus einem Zylinder-Grundkreis, dem Zylindermantel und der Halbkugel. Den Grundkreis hatte ich vergessen. Also ist $\begin{eqnarray} O = r^2 \pi + 2r \pi h + 2r^2 \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} O = 3r^2 \pi + 2r \pi h \end{eqnarray}$ Das Volumen stimmt jedoch. Berechne aus diesem h durch Umstellen nach h: $\begin{eqnarray} 3V = 3r^2 \pi h + 2r^3 \pi \end{eqnarray}$ daraus h berechnen und dann in O einsetzen, r bleibt als Variable, O ist f(r) ... Versuche jetzt mal alleine weiter, du kannst uns ja dann sagen, wie weit du gekommen bist. mY+
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19.11.2006, 21:04	Gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
so, ich habe jetzt nach h umgestellt: h= V/(r²PI) - (2r³PI)/(3r²PI) + (2r³PI)/3 dann in O eingesetzt und abgeleitet: O' = 2V/r² - (8PIr)/3 + 6r²PI/3 das ganze hab ich =0 gesetzt und komme nun nicht weiter...
19.11.2006, 21:10	Gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
da ich leider net editen kann muss ich ne neue antwort schreiben! ich habe es raus, hatte jez nen anderen rechenweg probiert und bin zu der Lösung gekommen, dass r=8/(6*V) ist.. ich werde morgen in der schule sehen ob das richtig ist, melde mich dann!
20.11.2006, 00:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann leider nicht stimmen, allein schon beim Umstellen nach h gibt's einen Fehler. Das Ergebnis für r ist ganz unmöglich, es müssen auch noch irgendwo die PI abgeblieben sein ... Ich habe als Ergebnis $\begin{eqnarray} r = h = \sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi}} \end{eqnarray}$ Ich sagte schon, dass dies keine ganz leichte Rechnung ist ... mY+
20.11.2006, 19:55	Gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab die nacht im bett gemerkt, dass die lösung nicht stimmen kann, weil eine länge ja eine längeneinheit hat und nicht eine Volumeneinheit, wie in meinem ergebnis.. nun gut, dieses ergebnis haben wir auch heute in der schule gesagt bekommen und keiner hatte es richtig viele dank!!
10.12.2006, 20:35	El_Snyder	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hänge gerade auch an dieser aufgabe allerdings mit einem variierten problem: "Wie sollte man die Daten r, h bei gegebener "Oberfläche (O)", d.h. Wurstpellenfläche ohne Schnittfläche der Wurst, wählen, damit das Volumen möglichst groß wird?" Hauptbedingung: $\begin{eqnarray} V(r, h) = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 \end{eqnarray}$ Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} h = \frac{O}{2 \pi r} - \frac{3}{2} r \end{eqnarray}$ Zielfunktion: $\begin{eqnarray} V(r) = \frac{3 \cdot O r - 5 \pi r^3}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V'(r) = \frac{3 \cdot O - 15 \pi r^2}{6} \end{eqnarray}$ Beim Nullsetzen erhalte ich die Extremwerte: $\begin{eqnarray} r_1 = \sqrt{\frac{O}{5 \pi}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_2 = - \sqrt{\frac{O}{5 \pi}} \end{eqnarray}$ Beim Überprüfen mittels zweiter Ableitung zeigt sich, dass ein Maximum bei r1 vorliegt. Somit ergibt sich für h: $\begin{eqnarray} h = \frac{O}{2 \pi \cdot \sqrt{\frac{O}{5 \pi}}} - \frac{3 \cdot \sqrt{\frac{O}{5 \pi}}}{2} \end{eqnarray}$ Sind diese Ergebnisse korrekt? Würde mich über eine Bestätigung freuen
11.12.2006, 01:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne Schnittfläche der Wurst ist die Oberfläche aber $\begin{eqnarray} O = 2r \pi h + 2r^2 \pi \end{eqnarray}$ und dann stimmt schon die NB nicht mehr. mY+

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