Induktionsanfang mit (n < i) ?

03.12.2010, 15:14

Klocke

Induktionsanfang mit (n < i) ?

Meine Frage:
Hallo,

Wir sollten in der Übung ein induktiven Beweis führen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (2k - 1) = n^2 \end{eqnarray*}$

Der Induktionsanfang wurde in der Musterlösug mit n = 0 gemacht. Dann wurde die 0-te Summe genommen und mit 0² gleichgesetzt.

Meine Ideen:
Das klingt ja alles schön und nett aber das k fängt doch erst bei 1 an und die 0te Summe ist für jede beliebige Summe gleich null.
Somit ist der Induktionsanfang doch sofort falsch gemacht und damit wird der Induktionsschritt für n -> n + 1 ja erst recht falsch oder irre ich mich da.
Auf meine Nachfrage in der Übung habe ich leider keine wirklich befriedigende Antwort erhalten...

03.12.2010, 15:34

klarsoweit

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RE: Induktionsanfang mit (n < i) ?
Es kommt auch auf den Induktionsschritt an. Egal, mit welchem Wert n_0 der Induktionsanfang gemacht wurde, der Induktionsschritt muß für jedes n mit n >= n_0 funktionieren.

03.12.2010, 15:45

Klocke

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RE: Induktionsanfang mit (n < i) ?
Aha, man hat also nur für ein weiteres n bewiesen, was garnicht notwendig gewesen wäre.

03.12.2010, 15:53

Math1986

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Er hat den Anfang für $\begin{eqnarray*} n= 0 \end{eqnarray*}$ gemacht, weil er die aussage eben für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ zeigen möchte.
Das die Aussage für n=0 gilt, leuchtet doch ein, oder?
Anschliessend nimmt er an, dass es für n gilt und zeigt es für n+1, dieser Schritt ist unabhängig vom Induktionsanfang.

Wenn die Aufgabe lautet, die Aussage für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen, und du machst den Anfang für $\begin{eqnarray*} n= 1 \end{eqnarray*}$ , dann hast du dadurch den Fall n=0 nicht gezeigt und die Aufgabe somit nicht komplett erfüllt, egal wie trival n=0 auch sein mag.

03.12.2010, 20:33

Klocke

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Zitat:

Original von Math1986
Wenn die Aufgabe lautet, die Aussage für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen, und du machst den Anfang für $\begin{eqnarray*} n= 1 \end{eqnarray*}$ , dann hast du dadurch den Fall n=0 nicht gezeigt und die Aufgabe somit nicht komplett erfüllt, egal wie trival n=0 auch sein mag.

Das es ab 0 gezeigt nicht falsch ist, leuchtet mir jetzt schon ein, danke Euch.
Aber k = 1 bedeutet doch dass es erst ab 1 gezeigt werden soll dachte ich(Es sei denn der Index hat damit nichts zu tun und ich irre mich schon wieder...).

03.12.2010, 20:40

Math1986

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Zitat:

Original von Klocke

Zitat:

Na, was gezeigt werden soll, steht üblicherweise in der Aufgabenstellung smile

Wenn da steht "Zeige für $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann sollst du den Induktionsanfang bei n=0 machen
Wenn da steht "Zeige für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ , dann sollst du den Induktionsanfang bei n=1 machen
.....

Du beginnst also immer beim kleinsten Element, für das die Behauptung zu zeigen ist.

Der Index hat damit also gar nichts zu tun

04.12.2010, 20:15

Klocke

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Zitat:

Original von Math1986Der Index hat damit also gar nichts zu tun

Oh, das wusste ich nicht. Danke.

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