Das bestimmte Integral

03.12.2010, 17:02

mundea

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Das bestimmte Integral

Meine Frage:
Hallo Community,

ich habe eine Frage zu einer Übungsaufgabeaufgabe zu einem bestimmten Integral.
Da der Lehrer meinte, solche Aufgaben könnten auch bei der nächsten Arbeit Thema sein, wollte ich nun einige davon lösen.

Nur bei dieser bin ich bis jetzt nicht zu einer Lösung gekommen:

Berechne die unbekannte Grenze:

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! (x^3 + x + 2) \, dx = 10<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich weiß, dass ich zum Schluss den Wert "b" ausgerechnet haben muss.

Die Aufleitung habe ich noch hinbekommen, also

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 2x \end{eqnarray*}$

(ich hoffe mal sie stimmt, wenn nicht, Korrekturvorschläge erwünscht!)

Danach muss ich die Gleichung

$\begin{eqnarray*} F(b)-F(a) = 10 \end{eqnarray*}$

lösen, richtig?
Wenn ja, hier liegt mein Problem. Groß "F" bedeutet ja die Aufleitung der ursprünglichen f(x), aber ich schaffe es einfach nicht auf eine Lösung, da mir mitten im Gleichungslösen auffällt, dass das keinen Sinn ergeben kann (habe bereits verschiedene Varianten probiert)!

Ich wäre echt froh, wenn mir jmd bei der Aufgabe helfen könnte!

Gruß

03.12.2010, 17:10

baphomet

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RE: Das bestimmte Integral
Bisher hast du alles richtig gemacht, die Stammfunktion gebildet und auch
die richtige Gleichung für das bestimmte Integral.

Nun wäre es gut wenn du erstmal F(0) ausrechnest und dann die gesamte
Gleichung so umstellts das du aus deinem Problem ein Nullstellenproblem machst.

$\begin{eqnarray*} \int_0^b(x^3+x+2) dx=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+2x+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(b)-F(a)=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(b)-10=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{4}b^4+\frac{1}{2}b^2+2b-10 \end{eqnarray*}$

Erste Lösung bei x=2 durch Probieren gefunden(die restlichen Lösungen durch
Polynomdivision)

03.12.2010, 17:21

Mundea

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Danke für deine schnelle Hilfe!

Wenn ich F(0) ausrechne, kommt ja 0 raus, das wäre auch mein erster Schritt gewesen.

D.h. jetzt muss ich noch F(b) ausrechnen, also in die Aufleitung einsetzen und mit der Fläche, 10, gleichstellen.

Ungefähr so: (?)

$\begin{eqnarray*} \frac{b^4}{4} + \frac{b^2}{2} + 2b = 10 \end{eqnarray*}$

Dann als "Nullstellenproblem"

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{b^4}{4} + \frac{b^2}{2} + 2b - 10 \end{eqnarray*}$

Hier komme ich dann leider nicht mehr weiter.

Gruß

03.12.2010, 17:24

Mundea

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Ah ok, ich sehe du hast deinen Post editiert =) .

Ich habe jetzt versucht, deine Lösung nachzurechenen, aber ich komme nicht drauf.
Könntest du mir evtl. kurz erklären, wie due auf deinen letzten Schritt gekommen bist (also nicht die Nullstelle x=2, sondern die Gleichung)?

Gruß

03.12.2010, 17:28

Mundea

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Zitat:

Original von Mundea
Ah ok, ich sehe du hast deinen Post editiert =) .

Ich habe jetzt versucht, deine Lösung nachzurechenen, aber ich komme nicht drauf.
Könntest du mir evtl. kurz erklären, wie due auf deinen letzten Schritt gekommen bist (also nicht die Nullstelle x=2, sondern die Gleichung)?

Gruß

Oh entschuldigung, bin selbst drauf gekommen, dumme Frage.

Was muss ich dann tun, wenn ich die Nullstellen hätte?

PS. Sorry für die vielen Posts, ich kann aber leider nicht editieren.

03.12.2010, 17:29

baphomet

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Mein letzter Schritt ist mit deinem völlig äquivalent, bei mir steht x als Variable und
bei dir b. Das ist gephupft wie gesprungen, halbwegs man weiß was gemeint ist.

Deins ergibt freilich mehr Sinn da wir ja b errechnen wollen und somit statt der
Unbekannten x auch b verwenden.

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03.12.2010, 17:50

baphomet

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Diese errechneten Nullstellen würden also bei deinem Integral wenn du diese
als obere Grenze einsetzt 10 ergeben. Das einzige was du jetzt zu tun brauchst
ist deine Lösung mittels:

$\begin{eqnarray*} F(b)-F(a)=10 \end{eqnarray*}$

zu überprüfen(b=2).

03.12.2010, 17:53

Mundea

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Zitat:

Original von baphomet
Mein letzter Schritt ist mit deinem völlig äquivalent, bei mir steht x als Variable und
bei dir b. Das ist gephupft wie gesprungen, halbwegs man weiß was gemeint ist.

Deins ergibt freilich mehr Sinn da wir ja b errechnen wollen und somit statt der
Unbekannten x auch b verwenden.

Ja, habs bemerkt Big Laugh

Big Laugh

.

Aber ich komm leider trotzdem nicht weiter.
Ich will ja "b" ausrechnen, nur wie?
Es ist zwar nur eine Gleichung, aber ich kann sie irgendwie nicht lösen. Was müsste ich dann eigentlich mit den Nullstellen machen, wenn ich denn fähig wäre, sie auszurechnen? Kann ich mit Ihnen "b" ausrechnen?

Sorry wenn ich ein bisschen aufdringlich wirke/bin, aber es ist mir echt wichtig unglücklich

unglücklich

.

03.12.2010, 17:57

baphomet

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Die Nullstellen sind dein b, eine Lösung habe ich dir bereits oben gegeben und diese
liegt bei 2. Bei den anderen Nullstellen musst du bei den Grenzen darauf achten
wenn b kleiner als a wird das sich das Vorzeichen des Integrals ändert.

Du bist eigentlich so gut wie mit der Aufgabe fertig.

b=2

Nun kannst du mit Polynomdivision schauen ob es weitere b gibt die die Gleichung
erfüllen.

03.12.2010, 18:16

Mundea

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So, ich bekomme die Nullstellen einfach nicht raus.
Ich habe bis jetzt leider auch nicht rausbekommen, wie du b = 2 ausgerechnet hast unglücklich

unglücklich

.

$\begin{eqnarray*} F(b)-F(a)=10 \end{eqnarray*}$

Du hast ja gesagt, dass ich die Lösung überprüfen kann, indem ich für b = 2 einsetze.
Nur ist "a" ja "0", da dies in der Aufgabe vorgegeben ist. Also kann da doch nicht "10" rauskommen, oder?

Wenn es dir nicht zu viel Arbeit wäre, könntest du dann evtl mal deinen Lösungsweg ab der Stelle, wo wir die Gleichung in ein "Nullstellenproblem" umgewandelt haben, posten? Ich wäre dir echt dankbar, weil dann könnte ich versuchen, die Aufgabe nachzurechnen Freude

Freude

.
Gruß

03.12.2010, 18:20

baphomet

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Da fangen wir nochmal beim Urschleim an.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b x^3+x+2 dx=\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}+2x+C \end{eqnarray*}$

Wir haben die Stammfunktion ermittelt, soweit so gut:

$\begin{eqnarray*} F(b)-F(a)=10<br /> F(b)-0=10<br /> F(b)-10=0 \end{eqnarray*}$

Nun haben wir die Aufgabe zu einem Nullstellenproblem gemacht um die oberen
Grenze deines Integrals zu berechnen. Wir haben also zu lösen

$\begin{eqnarray*} \frac{b^4}{4}+\frac{b^2}{2}+2b-10=0 \end{eqnarray*}$

wobei b ein ganz bestimmtes x der Gleichung sein muss. b ist also die Zahl
die die Gleichung der Unbekannten x erfüllt.

Da es sich weder um eine biquadratische, kubische oder sonst triviale einfach zu
lösende Gleichung handelt müssen wir die erste Lösung durch probieren.
Das Versuchen wir mal im Intervall -3 bis 3 für b. So habe ich festgestellt das
die Gleichung für b=2 erfüllt ist. Nun können wir mithilfe der Polynomdivision die
Gleichung auf eine kubische Gleichung reduzieren die mittels Cardanischer Formel
gelöst werden kann.

$\begin{eqnarray*} (\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}+2x-10)/(x-2)=\ldots \end{eqnarray*}$

Um nun zu üperprüfen ob unsere Lösung korrekt ist machen wir folgendes:

$\begin{eqnarray*} F(b)-F(a)=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(2)-0=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2^4}{4}+\frac{2^2}{2}+4=10 \end{eqnarray*}$

Stimmt, das heißt wir haben uns nicht verrechnet

03.12.2010, 19:00

Mundea

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Alles klar, jetzt erscheint mir Einiges viel logischer.

Vielen Dank!

Zitat:

Original von baphomet

Nun haben wir die Aufgabe zu einem Nullstellenproblem gemacht um die oberen
Grenze deines Integrals zu berechnen. Wir haben also zu lösen

$\begin{eqnarray*} \frac{b^4}{4}+\frac{b^2}{2}+2b-10=0 \end{eqnarray*}$

wobei b ein ganz bestimmtes x der Gleichung sein muss. b ist also die Zahl
die die Gleichung der Unbekannten x erfüllt.

Da es sich weder um eine biquadratische, kubische oder sonst triviale einfach zu
lösende Gleichung handelt müssen wir die erste Lösung durch probieren.
Das Versuchen wir mal im Intervall -3 bis 3 für b. So habe ich festgestellt das
die Gleichung für b=2 erfüllt ist. Nun können wir mithilfe der Polynomdivision die
Gleichung auf eine kubische Gleichung reduzieren die mittels Cardanischer Formel
gelöst werden kann.

$\begin{eqnarray*} (\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}+2x-10)/(x-2)=\ldots \end{eqnarray*}$

Allerdings hätte ich noch eine Frage: Gibt es eine Möglichkeit, die Nullstellen auf einem anderen Weg auszurechnen? In der Schule haben wir bisher noch nicht mit der Cardanischen Formel gerechnet.

03.12.2010, 19:02

baphomet

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Dann lässt du dir die Funktion plotten oder du nutzt Näherungsverfahren wie
regula falsi, Bisektionsverfahren oder Newton-Verfahren. Das letztgenannte ist das
beste. Dann würde ich als Startwert -2 vorschlagen.

03.12.2010, 19:32

Mundea

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Zitat:

Original von baphomet
Dann lässt du dir die Funktion plotten oder du nutzt Näherungsverfahren wie
regula falsi, Bisektionsverfahren oder Newton-Verfahren. Das letztgenannte ist das
beste. Dann würde ich als Startwert -2 vorschlagen.

Hm, ok. Hört sich kompliziert an.

Könnte ich denn auch ausklammern?

03.12.2010, 20:28

baphomet

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Hätte ich dir schon gesagt das das funktioniert wenns es gegangen wäre.

Kann dir aber sagen das die zweite Lösung der Gleichung die reell ist und damit
auch die letzte Lösung bei etwa -2,621493 iegt.

03.12.2010, 20:43

Mundea

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Stimmt, hätte ich mir denken können.

Vielen Dank nochmals und schönen Abend noch!

03.12.2010, 20:56

René Gruber

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Ich könnte mir vorstellen, dass sowieso nur nichtnegative $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gesucht sind. Und dass die obige Gleichung vierten Grades außer $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ keine weitere nichtnegative reelle Lösung hat, kann man auch ohne Näherungsverfahren nachweisen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2010, 21:02

Mundea

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Zitat:

Original von René Gruber
Ich könnte mir vorstellen, dass sowieso nur nichtnegative $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gesucht sind. Und dass die obige Gleichung vierten Grades außer $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ keine weitere nichtnegative reelle Lösung hat, kann man auch ohne Näherungsverfahren nachweisen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, das könnte durchaus sein.

Jedoch wird in der Aufgabenstellung nur nach "Grenzen" gefragt, es wird nicht erwähnt, ob negativ oder positiv. Von daher wollte ich es nur zur Vollständigkeit/zum Verständnis halber haben smile

smile

.

Gruß

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