L'Hospital

03.12.2010, 18:42

FlashyMo

L'Hospital

Hi

ich hab ne frage zu 4 grenzwerten:

Aufgabe:
"Berechnen Sie folgende Grenzwerte, wobei Si - so möglich - die Regel von de l'Hospital einsetzen:"
1) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(x) - 1}{tan(x)} \end{eqnarray*}$

l'Hospital kann man verwenden; Grenzwert geht gegen 0

2) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{ln(x)}{(x)} \end{eqnarray*}$

l'Hospital kann man verwenden; Grenzwert geht gegen $\begin{eqnarray*} \frac{(1)}{(\infty )} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x^{k}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

l'Hospital nicht nötig, Grenzwert geht gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{k}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Beim 4ten weiss ich nicht genau was ich amchen soll!
Ich hab mal so begonnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}}{k\cdot x^{k-1}} \end{eqnarray*}$ aber jetzt weiss ich nicht genau was ich machen soll...
ich glaub man muss jetzt n-mal ableiten?

Ty

03.12.2010, 18:50

baphomet

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RE: L'Hospital
Aufgabe 4 geht der Grenzwert gegen Unendlich, habe es auch geplottet und bestätig
meine Vermutung

03.12.2010, 18:53

FlashyMo

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RE: L'Hospital

Zitat:

Original von baphomet
Aufgabe 4 geht der Grenzwert gegen unendlich, das kann man mittels L'Hospital
zeigen.

könntest ma die schritte aufschreiben? weil ich weiss nicht wie!

03.12.2010, 18:55

tmo

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Induktion über k. Im Induktionsschritt dann l'Hospital.

03.12.2010, 18:56

baphomet

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RE: L'Hospital
Man kann versuchen das ganze jetzt k-mal abzuleiten, so bleibt am Ende folgendes
stehen nach der k-ten ABleitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{ k(k-1)(k-2)\ldots \cdot 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{e^x}{k!} \end{eqnarray*}$

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