Abstand Punkt - Ebene

03.12.2010, 21:20

Whitis

Abstand Punkt - Ebene

Pyramide mit quadratischer Grundfläche:
A(3|-3|0), B(3|3|0), C(-3|3|0), D(-3|-3|0), Spitze S(0|0|6)

Ein Stab b1 geht von der Mitte der Kante AD aus und stützt die Dachfläche BCS senkrecht ab.
Berechne die Länge dieses Stabes.

Da bin ich folgendermaßen vorgegangen:

Mittelpunkt von AD berechnen.

Ebene aus BCS berechnen und in Koordinatenform überführen.

Lotgerade bestimmen.

Lotfußpunkt bestimmen (Allgemeinen Geradenpunkt der Lotgeraden in Ebene einsetzen)

Errechneten Wert für t in den allgemeinen Geradenpunkt einsetzen um die Koordinaten des Lotfußpunktes F zu erhalten.

Länge von der Mitte von AD zu F berechnen.

Kommt dann ~8,980 LE heraus, ist das richtige Ergebnis laut Klasse und Lehrer.

________________________________________________________

Nun wurde gesagt, dass es noch die Methode gibt, dass man das mit der HESSE-Form macht.

Doch leider bekomme ich da gänzlich untershiedliche Ergebnisse heraus, ich zeige wie ich vorgegangen bin:

$\begin{eqnarray*} \vec{M_{AD} } = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ebene aus BCS:
$\begin{eqnarray*} E : \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normalenvektor von E bestimmen (Kreuzprodukt)
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die HESSE Normalform versucht anzuwenden. Ich habe die Länge des Normalenvektors genommen als Nenner unter 1, mal dem Normalenvektor. In Klammern dann den Mittelpunkt von AD minus einem Punkt der Ebene (hier B)
$\begin{eqnarray*} |\vec{n}| = \sqrt{5} | \frac{1}{\sqrt{5}} * \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \left[\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\right] | = 0 | \frac{1}{\sqrt{5}} * \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} | | \frac{1}{\sqrt{5}} * (0*-3 + 2*-6 + 1*0) | = 0 d = 5,37 \end{eqnarray*}$

Wie ihr seht, bekomme ich ein anderes Ergebnis heraus, als bei zuerst beschriebenen Methode, was habe ich falsch gemacht?

________________________________________________________

Habe dann einfach versucht noch die andere Form der HESSE-Form zu nehmen:

Wieder Länge des Normalenvektors von der Ebene als Nenner unter dem Zähler 1 mal die Ebene in Koordinatenform. Dort dann eingesetzt den Mittelpunkt von AD.

$\begin{eqnarray*} E_{H} : \frac{1}{\sqrt{5}} ( 2x_{2} + 3x_{3} -6) =0 d = \frac{1}{\sqrt{5}} ( 2*2 + 3*1 - 6) d= \frac{1}{\sqrt{5}} * 1 d= 0,447 \end{eqnarray*}$

Auch hier scheint irgendetwas schief gegangen sein, wobei ich mich frage was ich in diesen drei Schritten groß falsch machen konnte.

Kann mir jemand helfen und sagen, was ich bei den beiden Verfahren falsch gemacht habe?

03.12.2010, 22:16

corvus

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RE: Abstand Punkt - Ebene

Zitat:

Original von Whitis
Pyramide mit quadratischer Grundfläche:
A(3|-3|0), B(3|3|0), C(-3|3|0), D(-3|-3|0), Spitze S(0|0|6)

Ein Stab b1 geht von der Mitte der Kante AD aus
und stützt die Dachfläche BCS senkrecht ab.
Berechne die Länge dieses Stabes.

$\begin{eqnarray*} \vec{M_{AD} } = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normalenvektor von E bestimmen (Kreuzprodukt)
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d = 5,37

Wie ihr seht, bekomme ich ein anderes Ergebnis heraus,
als bei zuerst beschriebenen Methode,
was habe ich falsch gemacht? nichts

$\begin{eqnarray*} E_{H} : \frac{1}{\sqrt{5}} ( 2x_{2} + 3x_{3} -6) =0 \end{eqnarray*}$
.......................................... unglücklich

$\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{\sqrt{5}} ( 2*2 + 3*1 - 6) \end{eqnarray*}$
........................ unglücklich

Auch hier scheint irgendetwas schief gegangen sein,

ja, nur hier - und zwar gleich mehrfach... smile

Kann mir jemand helfen und sagen,
was ich bei den beiden Verfahren falsch gemacht habe?

du hast (fast) alles richtig gemacht .. bis auf dies:
die Gleichung der Ebene ist
$\begin{eqnarray*} E_{H} : \frac{1}{\sqrt{5}} ( 2x_{2} + x_{3} -6) =0 \end{eqnarray*}$

und einsetzen solltest du die Koordinaten von M:

$\begin{eqnarray*} d = |\frac{1}{\sqrt{5}} ( 2*(-3) + 1*0 - 6) | \end{eqnarray*}$

überlege selbst nochmal..

03.12.2010, 22:34

Whitis

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Hach ja ich liebe meine Flüchtigkeitsfehler.

Habe ja schon einen richtigen Weg (den ich zu Anfang beschrieben hab).
Von da hatte ich für das HESSE Verfahren die Ebene übernommen, theoretisch. Praktisch hab ich sie falsch von diesem Blatt abgeschrieben.

Und warum ich beschrieben habe "Dort dann eingesetzt den Mittelpunkt von AD", das aber nicht getan habe, ist mir auch ein herrliches Rätsel.

Habe das nun wie von dir beschrieben (danke schon einmal) gerechnet, doch komm ich immer noh nicht auf das richtige Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} E_{H} : \frac{1}{\sqrt{5}} ( 2x_{2} + x_{3} -6) =0 d = |\frac{1}{\sqrt{5}} ( 2*(-3) + 1*0 - 6) | d= |\frac{1}{\sqrt{5}} (-6) | d= 2,68 \end{eqnarray*}$

Das ist aber immer noch niht das richtige Ergebnis, von 8,980 LE. verwirrt

03.12.2010, 22:58

corvus

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Zitat:

Original von Whitis

Habe das nun wie von dir beschrieben (danke schon einmal)
gerechnet, doch komm ich immer noh nicht auf das richtige Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} E_{H} : \frac{1}{\sqrt{5}} ( 2x_{2} + x_{3} -6) =0 d = |\frac{1}{\sqrt{5}} ( 2*(-3) + 1*0 - 6) | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d= |\frac{1}{\sqrt{5}} (-6) | \end{eqnarray*}$ unglücklich

.....................................
d= 2,68 geschockt

Das ist aber immer noch niht das richtige Ergebnis, von 8,980 LE. verwirrt

1) 2*(-3) + 0 - 6 = -12 .... und nicht -6

2) das richtige Ergebnis (zu der von dir notierten Aufgabe) ist
$\begin{eqnarray*} d = \frac{12}{\sqrt{5}} = 5,36656.... \end{eqnarray*}$

( und nicht etwa 8,98.. oder was auch sonst )

03.12.2010, 23:46

Whitis

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Ok, danke.
Dann stimmt ja auch die erste HESSE Variante die ich genommen hab.

Seltsam dass das aber alle bejat haben..
Naja.

Vielen dank smile

03.12.2010, 23:58

corvus

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Zitat:

Original von Whitis
Ok, danke.
Dann stimmt ja auch die erste HESSE Variante die ich genommen hab.
aber das hatte ich dir oben zu Beginn schon notiert

Seltsam dass das aber alle bejat haben..
Meinst du damit den Wert 8,98 ?
der ist definitiv falsch ..
auch wenn du mit der zu Beginn geschilderten Methode
(Lotgerade ..usw ) rechnest, bekommst du für d=12 / sqrt(5)

........................................ Wink

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