Abstand Punkt - Gerade

03.12.2010, 21:43	Whitis	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Punkt - Gerade Ich hoffe es ist kein Problem, dass ich mehrere Threads nebeneinander laufen lassen, fürchte sonst geht die Übersichtlichkeit flöten. Pyramide mit quadratischer Grundfläche: A(3\|-3\|0), B(3\|3\|0), C(-3\|3\|0), D(-3\|-3\|0), Spitze S(0\|0\|6) Ein zweiter Stab b2 geht von A aus und stützt die Kante CS senkrecht ab. Berechne die Länge des Stabes. Hier habe ih zunächst eine Geradengleichung für die Kante angegeben, mit dem Punkt als Aufpunkt und dem Verbindungsvektor CS. Davon dann den allgemeinen Geradenpunkt gebildet. Dann habe ich den Verbindungsvektor zwischen dem Allgemeinen Geradenpunkt und dem Punkt A gebildet. Dessen Länge habe ich dann berechnet, d²=f(t) definiert (hoffe ich erkläre das gerade richtig, ist an sich nicht so wichtig, da das Ergebnis korrekt ist). Dann habe ich das Mininum für t berechnet und t in d eingesetzt. Nun kommt als Länge 6,928 heraus, was laut Klasse und Lehrer korrekt ist. _____________________________________________________________ Nun gibt es auch hier eine weitere Möglichkeit dies zu rechnen, und zwar mit einer Hilfsebene. Doch ich komme auf ein anderes Ergebnis. Ich hatte die Gerade CS folgendermaßen aufgestellt: $\begin{eqnarray} <br /> g : \vec {x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Daraus habe ih die Hilfsebene gebildet: $\begin{eqnarray} <br /> E_{H} : 3x_{1} - 3_{2} + 6_{3} = -18<br /> n_{o} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} = -18<br /> \end{eqnarray}$ Dann habe ich den allgemeinen Geradenpunkt von CS und den Punkt A (3\|-3\|0) genommen und davon den Verbindungsvektor bestimmt. $\begin{eqnarray} <br /> AGP: x_{g} = \begin{pmatrix} -3+3t \\ 3-3t \\ 6t \end{pmatrix} <br /> <br /> \vec {x_{g}P} = \begin{pmatrix} 6-3t \\ -6+3t \\ -6t \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Diesen allgemeinen Geradenpunkt setze ich in die Hilfsebene ein. $\begin{eqnarray} <br /> 3(6-3t) - 3(-6+3t)+6(-6t) = -18<br /> <br /> 18 - 9t + 18 - 9t - 36t = -18<br /> <br /> t = 1<br /> \end{eqnarray}$ Irgendwo auf dem Weg hierhin sollte ich schon einen Fehler gemacht haben, denn es muss wohl t gleich ein Drittel herauskommen. Aber weiter im Text, dann habe ich t in den allgemeinen Geradenpunkt eingesetzt um den Punkt F zu erhalten, und daraufhin den Abstand F zu P zu erhalten. t in $\begin{eqnarray} x_{g}<br /> <br /> F(3\|-3\|-6)<br /> \end{eqnarray}$ Abstand F zu P $\begin{eqnarray} <br /> \vec {FP} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}<br /> \| \vec {FP} \| = 6 LE<br /> \end{eqnarray*}$ ______________________________________________________ Wie man sieht, bekomme ich nicht das richtige Ergebnis heraus. Ich sehe aber auh einfach den Fehler nicht, vielleicht kann mich ja jemand erleuchten und mir den Fehler aufzeigen.
03.12.2010, 22:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Richtungsvektor der Geraden CS ist falsch. Richtig muss er (3; -3; 6) lauten. Überdies solltest du Richtungsvektoren immer abkürzen, also wird aus (3; -3; 6) --> (1; -1; 2). mY+
03.12.2010, 22:18	Whitis	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, tut mir Leid da hatte ich mich in dem Moment vorhin einfach verschrieben beim Abtippen scheint mir. Ich hab ja aus diesem Richtungsvektor die Hilfsebene gebildet, und da ja mit den Werten 3, -3 und 6 gerechnet. Also dürfte von diesem Aspekt her kein Folgefehler aufgetreten sein.
04.12.2010, 00:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Vorgehen ist undurchsichtig für mich. Welchen Zweck soll deine Hilfsebene haben? Wie liegt sie? Wenn du eine zu CS senkrechte Hilfsebene durch A legst, kannst du diese mit CS schneiden. Die Länge von A bis zu dem Schnittpunkt ist bereits der gesuchte Abstand. mY+
04.12.2010, 12:37	Whitis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, ich wollte eine Hilfsebene erstellen, die orthogonal zur Gerade CS ist. Aber mir fällt auf, dass ich den falschen Geradenpunkt genommen hab, aber mit dem richtigen kommt immer noch nicht das geforderte Ergebnis heraus. Gerade: $\begin{eqnarray} <br /> g : \vec {x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Davon allgemeiner Geradenpunkt: $\begin{eqnarray} AGP: x_{g} = \begin{pmatrix} -3+3t \\ 3-3t \\ 6t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aus dessen RV habe ich eine durch den Punkt A(3\|-3\|0) gehende Hilfsebene erstellt, die orthogonal zur Geraden CS ist. $\begin{eqnarray} <br /> E_{H} : 3x_{1} - 3x_{2} + 6x_{3} = -18<br /> n_{o} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} = -18<br /> \end{eqnarray}$ Ok, jetzt schneide ich, wie du sagst (und wie ich es im Startpost schon beschrieben hab, nur mit dem falshen Geradenpunkt), die Ebene mit CS. $\begin{eqnarray} <br /> 3(-3+3t) - 3(3-3t)+6(6t) = -18<br /> <br /> -9+9t-9+9t+36t = -18<br /> <br /> t = 0<br /> \end{eqnarray}$ Bis hierhin sheint shon wieder etwas falsh gelaufen zu sein. Wie gesagt, soll laut Lehrer t gleich ein Drittel herauskommen. Wenn ich nämlich dann den Wert für t in den Allgemeinen Geradenpunkt einsetze, kommt der Punkt F(-3\|3\|0) heraus. Berechne ih dann den Abstand von F(-3\|3\|0) zu Punkt A(3\|-3\|0) : $\begin{eqnarray} <br /> \vec {FA} = \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> \| \vec {FA} \| = 8,485 LE<br /> \end{eqnarray*}$ Das ist aber nicht der Abstand von 6,928, der die richtige Lösung darstellt. Habe ih eta wieder einen Fehler gemaht?
04.12.2010, 13:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Ermittlung der Konstanten rechts vom Gleichheitszeichen der Normalebene hast du wiederum den falschen Punkt eingesetzt, offenbar C statt A (!). Wenn du das richtig machst, steht rechts +18 (statt -18). t ist aber dann NICHT 1/3, sondern 2/3 (!). Der Schnittpunkt (ich nenne ihn E) wird dann E(-1; 1; 4) und die Distanz AE = \|(-4; 4; 4)\| = $\begin{eqnarray} 4 \sqrt 3 \end{eqnarray}$ ______________________________ Überdies hast du meinen Ratschlag, den mit dem Faktor 1/3 abgekürzten Normalvektor zu nehmen, nicht befolgt. Dann wäre die Rechnung etwas einfacher gewesen (t = 2). mY+
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04.12.2010, 16:08	Whitis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich hab wohl irgendwie gedacht dass C ein Punkt dieser Geraden ist, aber das wär ja dann Blödsinn. Noch einmal danke!

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