Differentiationsregeln mittels Differentialquotient bestätigen

03.12.2010, 23:25

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

Differentiationsregeln mittels Differentialquotient bestätigen

Hallo!

Ja, schon wieder ich... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Folgende Frage:
Seien f(x) und g(x) zwei beliebige in a differenzierbare Funktionen. Bestätigen Sie die Gültigkeit folgender bekannter Differentiationsregeln, indem Sie die auftretenden Ableitungen definitionsgemäß mittels Differentialquotient berechnen.

a) Produktregeln
(f * g) ' (a) = (f' * g) * (a) + (f * g') * (a)

b) Kettenregel
(f $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ g)' (a) = f' (g(a)) ' (g'(a))

Wie man die Ableitung einer Funktion mittels Differentialquotient (h-methode) berechnet, weiß ich mittlerweile.
Wie ich aber das bei gegebener Fragestellung anwenden soll, ist mir zum Zeitpunkt noch nicht klar.

"indem Sie die auftretenden Ableitungen definitionsgemäß mittels Differentialquotient berechnen"
Was genau ist darunter zu verstehen?

Danke im Voraus!

03.12.2010, 23:37

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Beispiel zur Kettenregel:

Sei $\begin{eqnarray*} h(x) = f(g(x)) \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} h'(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x-x_0} = \lim_{x_\to x_0} \left(\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0}\right)=... \end{eqnarray*}$

\Edit: Sorry, hab natürlich den Grenzwert vergessen.

04.12.2010, 00:20

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, damit ist mir schon sehr geholfen!

04.12.2010, 14:42

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

http://schlaukopp.org/mod/resource/view.php?r=164

Kann mir jmd. erklären, wieso mit {+-u(x+h)}*v(x)}{h}addiert und gleichzeitig subtrahiert werden muss bzw. wie man darauf kommt?

EDITH:
So, weiter recherchiert, das scheint die "nahrhafte Null" zu sein.
Ich lese weiter und melde mich in kürze!

04.12.2010, 15:53

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Beweis der Produktregeln verstehe ich nun einigermaßen.

$\begin{eqnarray*} <br /> z(x)=f(x)*g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Den Zähler erweitere ich nun mit der "nahrhaften Null"( -f(x)*g(x+h)+f(x)*g(x+h) ):

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)*g(x+h) -f(x)*g(x+h)+f(x)*g(x+h) -f(x)*g(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Klammern setzen:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{[f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x+h)]+[f(x)*g(x+h)-f(x)*g(x)]}{h} \end{eqnarray*}$

Herausheben:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)*[f(x+h)-f(x)]+f(x)*[g(x+h)-g(x)]}{h} \end{eqnarray*}$

Umformen:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)*[f(x+h)-f(x)]+f(x)*[g(x+h)-g(x)]}{h} \end{eqnarray*}$

Aufteilen auf zwei Brüche:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}g(x+h) * \lim_{h \to 0} \frac{[f(x+h)-f(x)]}{h} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} f(x) \lim_{h \to 0} \frac{[g(x+h)-g(x)]}{h} \end{eqnarray*}$

Wie man hier weitermacht ist mir nicht ganz klar.
Wieso kann man f(x) vor den Limes setzen? Weil nicht vom Limes betroffen?

Und die eigentliche Frage, woher weiß ich, wo ich nun ein Ableitungszeichen setzen kann?

Die Produktregel lautet ja:
f'(x) *g(x) + f(x) * g'(x)

Wenn ich nun h gegen 0 gehen lasse:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}g(x) * \lim_{h \to 0} \frac{[f(x)-f(x)]}{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} f(x) \lim_{h \to 0} \frac{[g(x)-g(x)]}{0} \end{eqnarray*}$
Das kann doch nicht stimmen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}g(x+h) \end{eqnarray*}$ wird zu g'(x) weil der Limes angewandt werden kann?
Was ist mit dem Rest?

04.12.2010, 17:51

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von metriod
Wie man hier weitermacht ist mir nicht ganz klar.
Wieso kann man f(x) vor den Limes setzen? Weil nicht vom Limes betroffen?

f(x) ist unabhängig von h, also konstant gegenüber h. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} c \cdot f(x) = c \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von metriod
Und die eigentliche Frage, woher weiß ich, wo ich nun ein Ableitungszeichen setzen kann?

Du hast

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}g(x+h) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + f(x) \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Nun ist ja gerade per Definition

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g'(x) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) \end{eqnarray*}$

Eine Grenzwertbildung wäre hier ohne konkrete Funktion gar nicht möglich.

Anzeige

04.12.2010, 18:03

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Nun ist ja gerade per Definition

..
...
....

Ah, stimmt natürlich!!!!

Vielen Dank für deine Hilfe!

04.12.2010, 19:01

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage ist noch aufgetaucht:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}g(x+h) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + f(x) \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) \end{eqnarray*}$

und f(x) ist nicht vom limes betroffen.

Wie komme ich allerdings auf das g(x)? Es steht ja

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}g(x+h) usw. \end{eqnarray*}$
und du schreibst, dass die Grenzwertbildung so garnicht möglich ist.

04.12.2010, 20:38

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von metriod
und du schreibst, dass die Grenzwertbildung so garnicht möglich ist.

Das war bezogen auf die Differentialquotienten

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Diesen Grenzwert kann man sehr wohl berechnen

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}g(x+h) \end{eqnarray*}$

g ist nämlich nach Voraussetzung differenzierbar, also auch stetig. Demnach gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~g(x+h) = g\left(\lim_{h \to 0} (x+h) \right) = g(x) \end{eqnarray*}$

04.12.2010, 20:43

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

04.12.2010, 22:37

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

b) Kettenregel
(f $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ g)' (a) = f' (g(a)) * (g'(a))

Ist der Ansatz der h-methode:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(g(x+h)-f(g(x))}{h} \end{eqnarray*}$

richtig bzw. wie tu ich jetzt weiter?

04.12.2010, 23:14

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du es denn unbedingt mit diesem Differentialquotienten machen? Wenn nicht: Siehe meinen 1. post, wenn doch, dann erweitere mit $\begin{eqnarray*} g(x+h)-g(x) \end{eqnarray*}$ .

04.12.2010, 23:29

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir die h-methode angewöhnt und würd jetzt nur ungern eine andere wechseln.

Wieso mit $\begin{eqnarray*} g(x+h)-g(x) \end{eqnarray*}$ erweiteren? Wie komme ich auf diesen Ausdruck?

Danke!

05.12.2010, 00:19

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn nicht? verwirrt

verwirrt

Das führt eben zum Ziel.

05.12.2010, 01:02

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Wieso denn nicht? verwirrt

verwirrt

Das führt eben zum Ziel.

Nicht falsch verstehen.
Ich glaube dir schon, dass es richtig ist mit $\begin{eqnarray*} g(x+h)-g(x) \end{eqnarray*}$ zu erweitern. Ich würd nur gern auch verstehen, weshalb man gerade mit diesem Ausdruck erweitert Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.12.2010, 11:43

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Das führt eben zum Ziel.

05.12.2010, 12:22

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Das führt eben zum Ziel.

Ich hab das schon verstanden Q-fLaDeN, dass die Erweiterung mit $\begin{eqnarray*} g(x+h)-g(x) \end{eqnarray*}$ zum Ziel führt.

Die Frage ist, wie komme ICH selbst bei z.B. einer ähnlichen Aufgabe zum Ausdruck mit dem erweitert wird?

05.12.2010, 19:08

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

So,

Kann mir jmd erklären, wieso hier:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...erlaeuterung43/

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \lim_{\vec{h} \to 0} x \end{eqnarray*}$
(wobei $\begin{eqnarray*} \vec{h} \end{eqnarray*}$ für "h unter Welle" steht und $\begin{eqnarray*} \vec{h} = g(x+h)-g(x) \end{eqnarray*}$ )
ersetzt werden kann?

Etwa weil, wenn $\begin{eqnarray*} \vec{h} = g(x+h)-g(x) \end{eqnarray*}$ ) für $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ 0 ist?

05.12.2010, 19:37

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von metriod

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Das führt eben zum Ziel.

Die Frage ist, wie komme ICH selbst bei z.B. einer ähnlichen Aufgabe zum Ausdruck mit dem erweitert wird?

Na das ist doch schon was ganz anderes. Du weißt ja, dass die Ableitung

$\begin{eqnarray*} h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

ist. Das heißt wir brauchen im hinteren Teil ein $\begin{eqnarray*} g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \end{eqnarray*}$ . Das h im Nenner haben wir ja schon, fehlt also noch der Zähler. Und das ist genau der Ausdruck mit dem man dann erweitern sollte.

Zitat:

Original von metriod
Etwa weil, wenn $\begin{eqnarray*} \vec{h} = g(x+h)-g(x) \end{eqnarray*}$ ) für $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ 0 ist?

Ein wenig unglücklich formuliert, aber ja, genau deshalb.

05.12.2010, 20:05

metriod

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ist alles klar, vielen Dank für die Unterstützung!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »