von vorwärts zu rückwärts

04.12.2010, 01:28	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
von vorwärts zu rückwärts Hallo. Angenommen ich habe eine Differentialgleichung gegeben, wobei die Zeit t vorwärts durchlaufen wird, also z.b. $\begin{eqnarray} (\partial_{tt}+\Delta)u(t,x)=0, t\geq 0, x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ oder z.b. $\begin{eqnarray} (\partial_t - \partial_{xx})u(t,x)=0, t \geq 0, x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Jetzt möchte ich die Differentialgleichung rückwärts betrachten, also die Zeit t rückwärts durchlaufen oder anders formuliert, die Zeit -t vorwärts durchlaufen. Ich betrachte also anstelle u(t,x) nun u(-t,x). Meine Frage: wie erhalte ich nun die Differentialoperatoren? Unterscheiden sich diese bei der rückwärtsbetrachtung nur um das Vorzeichen von der vorwärtsgleichung? Wie muss ich das berechnen? Wie ist das in meinen Beispielen? lg frieder
04.12.2010, 19:51	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit "wie erhalte ich nun die Differentialoperatoren" ? Du kannst annehmen, dass du eine Lösung $\begin{eqnarray} u(t,x) \end{eqnarray}$ hast und dann setzt du $\begin{eqnarray} u(-t,x) \end{eqnarray}$ in die DGL ein. Dann musst du die Kettenregel bemühen.
05.12.2010, 00:41	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich meine mit "wie erhalte ich nun die Differentialoperatoren", ob ich die Differentialgleichung direkt umschreiben kann und eine "neue" erhalte, für die ich das t auch im positiven durchlaufe. Beispiel: Wir haben die Wärmeleitungsgleichung kennengelernt: $\begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \end{eqnarray}$ . Die Rückwärtswärmeleitungsgleichung haben wir so kennengelernt: $\begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \end{eqnarray}$ . Meine Frage: kann man aus der "Vorwärts"gleichung die "Rückwärts"gleichung berechnen? Was meinst du mit Kettenregel? An welcher Stelle und wie muss ich die anwenden? lg frieder
05.12.2010, 09:39	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal ist $\begin{eqnarray} u(-t,x) \end{eqnarray}$ eine Verkettung von zwei Funktionen, nämlich $\begin{eqnarray} u\circ g \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} g: \mathbb R^2\to\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} (t,x)\mapsto(-t,x) \end{eqnarray}$ .

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