Cauchyfolge

04.12.2010, 11:00

FAUPhy

Cauchyfolge

Meine Frage:
Hallo Leute, und zwar grübel ich über folgende Aufgabe:
Durch die Rekursionsvorschrift

a_{1} := 2

a_{n+1} := \frac{a_{n} }{2} + \frac{1}{a_{n}}

sei die Folge (a_{n})_{n\in N} gegeben. Weisen sie nach:

(i) für alle n Element N gelten die Aussagen a_{n}^2 \geq 2 und a_{n} \geq a_{n+1}

(ii) Aus (i) ergibt sich, dass (a_{n})_{n\in N} eine Cauchyfolge ist. Tipp: Führen Sie die Gegenannahme zu Widerspruch.

Meine Ideen:
Die erste Teilaufgabe ist ja problemlos lösbar. Und mir ist auch klar, dass die gegebene Folge, gegen \sqrt{2} konvergiert. Ein Nachweis, dass es sich um eine Cauchyfolge handelt wäre auc nicht so schwer - einfach den üblichen Ansatz setzen, dass eben | a_{n} -a_{m} | < \epsilon gilt, wobei man hier drauf durch geschicktes umformen kommt.
ABER "aus (i) ergibt sich" ist für mich das Problem und auch das mit der Gegenannahme. Was meinen die mit "Gegenannahme" - soll man davon ausgehn, dass (i) nicht gilt und kommt dann auch darauf, dass keine Cauchyfolge vorliegt?
Schon mal vielen Dank für eure Ideen. Ich brauch meistens nur nen kleinen Anstoß und dann wird des.
Gruß

04.12.2010, 19:59

system-agent

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Angenommen dass es keine CF ist. Sei aber $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Wegen der Konvergenz gibt es ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ derart, dass für $\begin{eqnarray*} n,m\geq N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n>m \end{eqnarray*}$ immer
$\begin{eqnarray*} |a_n-\sqrt{2}|<\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |a_m-\sqrt{2}|<\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$
gilt.

Betrachte nun $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|=|a_n-\sqrt{2}+\sqrt{2}-a_m|\leq? \end{eqnarray*}$ .

05.12.2010, 10:12

FAUPhy

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Ja das ist im Prinzip nicht schlecht. Es würde dann ja wie folgt weitergehn:
$\begin{eqnarray*} | a_{n} - a_{m} | =| a_{n} -\sqrt{2} + \sqrt{2} - a_{m} | \leq | a_{n} -\sqrt{2} | + |\sqrt{2} - a_{m} | < \frac{\epsilon}{b} + \frac{\epsilon}{b} = \epsilon \end{eqnarray*}$
soweit hoffentlich richtig.
Natürlich ist das ein Widerspruch zur Annnahme und damit ist es eine Cauchyfolge.
Aber wieso überhaupt die Gegenannahme? Das ist doch der vollständige Beweis, oder??
Und ich glaub die Frage heißt ja ehr: "Aus (i) ergibt sich, ..." und ich hab das ja gar nicht verwendet.
Versteh ich da irgendwas nicht?!?!

Schon mal danke

05.12.2010, 10:16

FAUPhy

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RE: Cauchyfolge
Ach und ja: darf ich die $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ überhaupt verwenden? Da sollte ich doch eine freie Variable nehmen?? Denn es stehe ja nirgends, dass es gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert, denn dann brauch ich ja keinen Beweis: Denn konvergiert eine Folge, dann ist es ja automatisch eine Cauchy Folge verwirrt

05.12.2010, 10:39

system-agent

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Du hast doch oben geschrieben dass du weisst, dass die Folge gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert verwirrt

.

Ja, die Gegenannahme ist vollkommen witzlos, denn diese Argumentation zeigt eigentlich, dass jede konvergente Folge eine CF ist [ersetze $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ mit dem Grenzwert].

Doch, die (i) hast du verwendet. Du hast eine Folge, die beschränkt ist durch 2 nach oben und durch 0 nach unten und ausserdem ist die Folge monoton. Also?

05.12.2010, 10:53

FAUPhy

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Ja, da hab ich mich vllt etwas schlecht ausgedrückt. Ich dachte, dass wenn ich das unter "meine Idden" schreib, dass das dann nicht zur Aufgabe gehört. Also ich weiß eigentlich nicht dass es gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert smile

Aber du hast Recht: Die 2 ist die "obere Schranke" und es kann auch nie negativ werden, das heißt die "untere Schranke" ist 0. Und durch die Teilaufgabe (i) weiß ich ja, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt und die Funktion damit monoton ist.
Und folgt jetzt aus diesen 3. Eigenschaften, dass diese Folge konvergiert?? Ja oder - und damit ist es automatische eine Cauchy folge.

Aber was die mit dem Tiipp meinen, das weißt du dann auch nicht? Ach vllt nimmt man dann eben die Annahmen aus (i) NICHT an, dh es gibt evt. "Sprünge", was wiederum bedeuten würde, dass sie nicht konvergiert und damit keine CF ist. Und damit ist ja dann bewiesen, das wenn das so gilt, das es dann ein CF ist.

Gruß

05.12.2010, 11:16

system-agent

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Zitat:

Original von FAUPhy
Und folgt jetzt aus diesen 3. Eigenschaften, dass diese Folge konvergiert?? Ja oder - und damit ist es automatische eine Cauchy folge.

Ja, das ist ein Satz den du kennen solltest: Wenn eine Folge beschränkt und monoton ist, dann ist sie konvergent.

Es kommt eben stark darauf an was ihr bewiesen habt. Bei meiner Argumentation hast du den Satz verwendet den ich dir eben zitiert habe. Kennst du den noch nicht, dann musst du wirklich anders argumentieren. Dann musst du wahrscheinlich eben annehmen, dass es keine CF ist und du wirst dann wohl einen Widerspruch zu einer der beiden Resultate aus der (i) kriegen.

05.12.2010, 11:28

FAUPhy

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Ja doch, ich hab den Satz schon mal gelesen, aber ich glaub er kam nicht in der Vorlesung vor. Aber auf jeden Fall, weiß ich jetzt wie ich rangehn kann.
Vielen Dank!

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