Differenzierbare Funktion für alle reellen x

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metriod Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbare Funktion für alle reellen x
Die Funktion f(x)
(Sorry, weiß leider nicht wie man die große Klammer setzt).

soll für alle reellen x differenzierbar sein.
Weiters ist die Ableitung f'(x) zu berechen sowie zu zeigen, dass die Ableitung bei f'(x) an 0 nicht stetig ist.


Schon wieder scheitert es am Ansatz.
Wie zeige ich, dass die Funktion für ALLE reellen x differenzierbar ist?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das wirklich Schulmathe? Wenn ja, dann macht ihr anspruchsvolle Sachen. smile

Nun, was ist mit x ungleich 0? Ist die Funktion dort differenzierbar? Die andere Aufgabe sagt, dass du den Grenzwert der Ableitung für x gegen 0 untersuchen sollst. Also: Ableitung mit den bekannten Regeln berechnen.

Die andere Aufgabe verlangt, dass du den Differenzenquotienten an der Stelle x = 0 aufstellst und zeigst, dass er konvergiert.
Flori1990 Auf diesen Beitrag antworten »

entweder is die aufgabe im endeffekt so gehalten dass man dann gleich erkennt was der grenzwert ist bzw ob sie konvergiert ...
oder man muss ein konvergenzkriterium anwenden

also wir machen das grad in mathe 1 an der uni Big Laugh
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Ist das wirklich Schulmathe? Wenn ja, dann macht ihr anspruchsvolle Sachen. smile

Nun, was ist mit x ungleich 0? Ist die Funktion dort differenzierbar? Die andere Aufgabe sagt, dass du den Grenzwert der Ableitung für x gegen 0 untersuchen sollst. Also: Ableitung mit den bekannten Regeln berechnen.

Die andere Aufgabe verlangt, dass du den Differenzenquotienten an der Stelle x = 0 aufstellst und zeigst, dass er konvergiert.


Nein, kein Schulmathe sondern Mathe 1 an der Uni...

Kann das jmd verschieben bitte?
Bin mir nie sicher, ob ich meine Fragen in den Schul- oder Hochschulbereich posten soll.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verschieb's mal.

Die Ableitung von kriegst du doch sicher hin, metriod?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Nun, was ist mit x ungleich 0? Ist die Funktion dort differenzierbar?


Für x=0 ist der Funktionswert auch 0. Die Ableitung von 0 = 0?



Die Ableitung :
Produkt- und Kettenregel:





Stimmt das so bzw. wie würde ich weiter vorgehen?
 
 
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ableitung stimmt nicht, was macht der Cosinus da hinten? Deine Regel ist aber richtig.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Korrektur, nun sollts also stimmen:



Zitat:
Original von metriod
Zitat:
Original von Cel
Nun, was ist mit x ungleich 0? Ist die Funktion dort differenzierbar?


Für x=0 ist der Funktionswert auch 0. Die Ableitung von 0 = 0?

Stimmt das?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von metriod
Danke für die Korrektur, nun sollts also stimmen:



Fast. Hinten fehlt ein Minus, so dass die Ableitung lautet.

Zitat:
Original von metriod
Für x=0 ist der Funktionswert auch 0. Die Ableitung von 0 = 0?


Das war zwar gar nicht meine Frage, aber ja, das stimmt auch. Und genau dahin zielt die zweite Frage ab: Du hast jetzt die Ableitung des oberen Zweiges und des unteren Zweiges der Funktion gebildet (weil du es auch solltest). Die Aufgabe soll dir zeigen, dass das in die Hose gehen kann. Berechne den Grenzwert für die Ableitung für x gegen 0. Da die Aufgabenstellung sagt, dass die Funktion dort nicht stetig ist, es darf also nicht 0 rauskommen.

Dann musst du noch die Ableitung in der 0 errechnen. Wie gesagt: Mach das ganz klassich mit dem Differenzenquotienten.

Und noch mal, falls du verwirrt sein solltest: Warum der ganze Qutasch? Wenn man auf Diffbarkeit untersucht, dann darf man eben nicht nach den bekannten Regeln ableiten und einfach 0 einsetzen, diese besonderen Stellen müssen seperat behandelt werden. Sonst würdest du hier die cos-Funktion ableiten und versuchen, 0 einzusetzen. Dann würdest du merken (ein Tipp von mir Augenzwinkern ), dass der Grenzwert nicht existiert und sagen, dass die Funktion in der Null nicht differenzierbar ist. Sie ist es aber.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Zitat:
Original von metriod
Danke für die Korrektur, nun sollts also stimmen:



Fast. Hinten fehlt ein Minus, so dass die Ableitung lautet.

Danke, hatte einen Fehler in der Klammersetzung. Nun erhalte ich auch dieselbe Ableitung.


Zitat:
Original von Cel
Berechne den Grenzwert für die Ableitung für x gegen 0. Da die Aufgabenstellung sagt, dass die Funktion dort nicht stetig ist, es darf also nicht 0 rauskommen.

Hm, versteh ich dich richtig, dass ich in den Grenzwert für berechnen soll? Also im Grunde genommen für x Null einsetze?
Das geht ja nicht, weiß cos oder sinus von 1/0 nicht existiert?...
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Gemäß Aufgabe soll ich ja Folgendes tun:

1) Berechnen der Ableitung f'(x)

-->



2) Bestätigen, dass die Ableitung f'(x) an 0 nicht stetig ist.
Die Ableitung ist bei x=0 nicht stetig, da kein Funktionswert rauskommt, wenn man 0 für x in f'(x) einsetzt, ist das die richtige Begründung?

Wobei du schreibst, dass die Funktion in der Null differenzierbar ist, was ja zugleich bedeutet, dass die Funktion bei Null auch stetig ist?

3) Zeigen, dass f(x) für alle reellen x differenzierbar ist.
...
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Wir nähern uns der Antwort. Deine Begründung, warum die Funktion in der Null nicht stetig ist, ist ok.

Du musst den Differenzenquotienten in der Null berechnen, ich hab es dir schon mehrmals gesagt. Mach es doch auch mal. Augenzwinkern

Und du musst das machen, weil die Nichtsteigkeit dieser Ableitung nichts mit der Differenzierbarkeit in der Null zu tun hat.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub, dass war zu viel Mathe heute.. äh nein, gestern.
Ein wenig Schlaf wird gut tun und morgen wird munter weitergelernt!

Danke vorerst für deine Hilfe!
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Du musst den Differenzenquotienten in der Null berechnen, ich hab es dir schon mehrmals gesagt. Mach es doch auch mal. Augenzwinkern


Nur, weil du mich so oft drum gebeten hast, will ich es mal probieren ... Big Laugh





f(0)=

f(0)=

f(0)=
Kann das so stimmen?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt mal hier und mal da ein Strich am f und außerdem ein Limes für h gegen 0, aber inhaltlich ist es ok. Was ergibt das denn für h gegen 0?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso fehlen Striche am f? unglücklich

Für h gegen 0 gibt es kein Ergebnis.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von metriod
f(0)=

f(0)=

f(0)=
Kann das so stimmen?


Hier fehlen überall Striche. Links muss f'(0) stehen. Formal korrekt steht dort



Doch, für h gegen 0 gibt es ein Ergebnis. Was ist mit dem Cosinus? Was hat er für einen Wertebereich? Da gibt es doch so eine Regel: Konvergent * ... = Konvergent.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Der Wertebreich von Cosinus ist [-1,1].
In der Klammer vom Cosinus kommt doch 1/0 raus und das geht ja nicht?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Cosinus maximal gleich 1 ist, dann zieht die Regel "konvergent mal beschränkt ist konvergent". Schätze den Cosinus mit einer konstanten 1 ab.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Wie nennt sich die "konvergent mal beschränkt ist konvergent"-Regel?

Wieso kann ich denn Cosinus mit 1 abschätzen?
Es steht ja cosinus(1/0), also cosinus nicht existent?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Wenn der Cosinus maximal gleich 1 ist, dann zieht die Regel "konvergent mal beschränkt ist konvergent". Schätze den Cosinus mit einer konstanten 1 ab.


Im Repetitorium der höheren Mathematik gibt es auf Seite 261 ein ähnliches Beispiel.

f(x)=

Es steht, dass der nicht existiert.
Müsste man hier nicht auf mit der selben Begründung wie oben argumentieren können und sagen, dass man sinus abschätzt gegen 1?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von metriod
Es steht, dass der nicht existiert.


Das stimmt, aber es geht ja gerade um den Grenzwert . Er existiert. Schau mal hier:



Genau so geht es auch bei dir mit dem Cosinus.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Zitat:
Original von metriod
Es steht, dass der nicht existiert.


Das stimmt, aber es geht ja gerade um den Grenzwert . Er existiert. Schau mal hier:



Genau so geht es auch bei dir mit dem Cosinus.


Hm, hast du da mit abgeschätzt?

Wieso man den cos mit 1 abschätzen kann ist mir noch immer unklar, der Übungsleiter die Variante allerdings auch erwähnt.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wundere mich gerade, dass dir das so unbekannt vorkommt. Das müsste doch bei den Folgen vorgekommen sein? Aber keine Sorge, wir bekommen das hin.



Wenn ein Ausdruck immer kleiner oder gleich einem anderen Ausdruck ist, dann ist er es auch im Grenzwert.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Ich wundere mich gerade, dass dir das so unbekannt vorkommt. Das müsste doch bei den Folgen vorgekommen sein? Aber keine Sorge, wir bekommen das hin.



Wenn ein Ausdruck immer kleiner oder gleich einem anderen Ausdruck ist, dann ist er es auch im Grenzwert.



Ok, das kann ich nachvollziehen.

"Wenn ein Ausdruck immer kleiner oder gleich einem anderen Ausdruck ist, dann ist er es auch im Grenzwert."

ist kleiner gleich .
Was genau kann ich unter "dann ist er auch im Grenzwert" verstehen?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von metriod
ist kleiner gleich .
Was genau kann ich unter "dann ist er auch im Grenzwert" verstehen?


Zunächst einmal macht das, was du da schreibst, keinen Sinn. Hinter dem Limes rechts steht nichts, was ich jetzt als



interpretieren würde. Das ist aber alles nicht in Ordnung, weil es nicht stimmt.

Wenn du einen Term, eine Funktion oder eine Folge hast, die kleiner oder gleich als ein anderer Term, eine anderen Funktion oder Folge ist, dann kannst du Grenzwerte davor schreiben und diese Ungleichung bleibt bestehen. Auch das hätte bei den Folgen dabei sein müssen.



Dabei sollen die Grenzwerte auch existieren, sonst bekämen wir in manchen Fällen ein Problem.

Vielleicht eine Frage zwischendurch: Was studierst du? Hast du Analysis I gehört oder etwas anderes? Eigentlich wird so was gemacht. (?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, da hatte ich wohl einen Teil vergessen.

Richtigerweise sollte da stehen:
ist kleiner gleich .
Also eigentlich nur in Worten, was du zuvor geschrieben hattest.


Ich glaube, ich hatte nur Probleme
Zitat:
Original von Cel

Wenn ein Ausdruck immer kleiner oder gleich einem anderen Ausdruck ist, dann ist er es auch im Grenzwert.

in Worten zu verstehen bzw. hatte ich mich verlesen und "dann ist er auch im Grenzwert" gelesen.
Daher auch meine Frage:
Zitat:
Original von metriod
Was genau kann ich unter "dann ist er auch im Grenzwert" verstehen?



So, verstehe ich es natürlich.

Danke dir!


Ich studiere Maschinenbau, habe also keine Analysis Vorlesung. "Nur" Mathe 1.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wie ist es dann mit der Ableitung in 0? Der Grenzwert existiert, die Argumentation ist genau wie beim Sinus, da der Cosinus immer kleiner gleich 1 ist. Gegen was konvergiert der Differenzenquotient dann?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
OK, wie ist es dann mit der Ableitung in 0? Der Grenzwert existiert, die Argumentation ist genau wie beim Sinus, da der Cosinus immer kleiner gleich 1 ist. Gegen was konvergiert der Differenzenquotient dann?


Ich nehme an du meinst den Differentialquotienten?




Differenzenquotient:







usw.

Konvergieren würde er gegen 2?!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was machst du denn jetzt? Wir waren doch eigentlich schon fertig. Du versuchst jetzt offenbar, die Ableitung mit dem Differenzenquotienten abzuleiten, was die zweite Ableitung in 0 ergäbe. Hier steht alles (inhaltlich) richtig da, wir brauchen jetzt nur noch den richtigen Grenzwert. Und das haben wir ja schon geklärt, Cosinus ist immer kleiner gleich 1:

Zitat:
Original von metriod
f(0)=

f(0)=

f(0)=
Kann das so stimmen?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine Abschätzung, die wir nutzen wollen. Aber nicht der Grenzwert. Gegen was geht denn h^2 für h gegen 0? Das ist dann die Ableitung in 0.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Gegen 0.

Aber wieso lassen wir h gegen 0 gehen?
Wir haben doch den Differenzenquotienten verwendet und nicht den Differentialquotienten?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Differentialquotient und Differenzenquotient ist das gleiche.

0 stimmt. Was du jetzt gezeigt hast ist die Differenzierbarkeit außerhalb der 0 (einfach durch Ableitungsregeln und Angabe der Ableitungsfunktion), die Unstetigkeit der Ableitungsfunktion in 0 und die Differenzierbarkeit der Funktion in 0.

Noch mal die Lehre der Aufgabe: Unstetigkeit der Ableitungsfunktion impliziert nicht (!) Nicht-Differenzierbarkeit in der Unstetigkeitsstelle.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Differentialquotient und Differenzenquotient ist das gleiche.

0 stimmt. Was du jetzt gezeigt hast ist die Differenzierbarkeit außerhalb der 0 (einfach durch Ableitungsregeln und Angabe der Ableitungsfunktion), die Unstetigkeit der Ableitungsfunktion in 0 und die Differenzierbarkeit der Funktion in 0.

Noch mal die Lehre der Aufgabe: Unstetigkeit der Ableitungsfunktion impliziert nicht (!) Nicht-Differenzierbarkeit in der Unstetigkeitsstelle.


Danke für die Rückmeldung.

Wieso sind der Differenzenquotient und der Differentialquotient das gleiche?
Der Differenzenquotient berechnet doch die Steigung der Sekante und der Differentialquotient die Steigung der Tangente, wenn x gegen 0 geht?

Ich versteh im Grunde, dass der Unterschied nur der limes (x gegen 0) ist, aber kann man da wirklich sagen, dass beide gleich sind?

Danke jedenfalls!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann nur eine Frage des Benennens. Ich hab gelernt, dass man den Grenzwert für h gegen 0 sowohl Differenzenquotient als auch Differentialquotient nennt. Wichtig ist nur, dass wir hier f'(0) berechnen, wie du es nennst, ist egal.

Ist das so weit dann klar?
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