Adjungierte

04.12.2010, 11:56

dupla

Adjungierte

hallo!

ich möchte folgende aufgabe lösen:

Zitat:

Es sei V der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Vektorraum aller reellen Polynomfunktionen und $\begin{eqnarray*} \phi \in End_K(V) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f->f' \end{eqnarray*}$ (also die Ableitung).
Weiter sei $\begin{eqnarray*} \beta: V \times V -> K \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \beta(f,g):=\sum\limits_{i=0}^n a_ib_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f: x->\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: x->\sum\limits_{i=0}^n b_ix^i \end{eqnarray*}$
Zeige, dass eine Adjungierte von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ existiert, und gib diese an.

nach definition muss ja für die adjungierte gelten: $\begin{eqnarray*} \beta(\phi(f),g)=\beta(f,\phi^{ad}(g)) \end{eqnarray*}$ .

demnach wäre ja $\begin{eqnarray*} \beta(\phi(f),g) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \beta(f',g) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\beta(\sum\limits_{i=0}^n ia_ix^{i-1},\sum\limits_{i=0}^n b_ix^i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n ia_ib_i \end{eqnarray*}$

kann ich nun einfach annehmen, dass die adjungierte existiert und diese auch die ableitung darstellt? dann würde es nämlich hinkommen:

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=0}^n a_i i b_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\beta(\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i ,\sum\limits_{i=0}^n ib_ix ^{i-1} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\beta(f,\phi^{ad}(g)) \end{eqnarray*}$

falls die adjungierte nicht die ableitung(sabbildung) ist, wie könnte ich sie dann finden?

danke schonmal im voraus.

04.12.2010, 14:01

Elvis

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Erscheint mir plausibel und daher erkläre ich das für richtig und wahr (bis zum Beweis des Gegenteils). Korollar: Die Ableitung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist bezüglich $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ selbstadjungiert.

04.12.2010, 14:32

dupla

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alles klar, danke dir smile

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