Teilende Primzahl

04.12.2010, 15:14

them3

Teilende Primzahl

Hallo, ich soll folgendes für alle p>2 und a € N beweisen.
2p teilt $\begin{eqnarray*} a^p-a \end{eqnarray*}$ . wobei ggt(2p,a)!=1 sein soll.

04.12.2010, 15:20

René Gruber

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An sich ist die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(2p,a) \neq 1 \end{eqnarray*}$ überflüssig:

Die Behauptung $\begin{eqnarray*} (2p) \mid (a^p-a) \end{eqnarray*}$ gilt für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , und folgt aus dem kleinen Fermat sowie einer Zusatzbetrachtung modulo 2.

04.12.2010, 15:34

them3

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Das alle a mit ggt(2p,a)=1 funktionieren, habe ich über dem Satz von Euler+Fermat bewiesen.
Wie meinst du das mit der mod 2 Betrachtung ?

04.12.2010, 15:39

René Gruber

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Zitat:

Original von them3
Wie meinst du das mit der mod 2 Betrachtung ?

Na die Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ wird durch den Fermat erledigt, es bleibt nur noch die Teilbarkeit durch 2 zu zeigen. Und da gibt es lediglich zwei Fälle zu untersuchen: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gerade oder $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ungerade, das sollte schnell gehen. Augenzwinkern

04.12.2010, 16:17

wisili

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RE: Teilende Primzahl

Zitat:

Original von them3
für alle p>2 und a € N beweisen.
2p teilt $\begin{eqnarray*} a^p-a \end{eqnarray*}$ . wobei ggt(2p,a)!=1 sein soll.

Der Satz ist falsch, da die Voraussetzung für p zu schwach ist.
(Die Suggestion p = prim ist so nicht zulässig.)

04.12.2010, 16:22

René Gruber

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Zitat:

Original von wisili
(Die Suggestion p = prim ist so nicht zulässig.)

Wo du Recht hast, hast du Recht - der Hinweis in der Threadüberschrift ist nicht eindeutig dem p zuordenbar. Augenzwinkern

@them3

Also füge mal zu deinen Voraussetzungen hinzu: p prim

04.12.2010, 19:47

them3

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Das p eine Primzahl ist, dachte ich wäre klar. Sorry.
Verstehe trotzdem nicht, wie du von mod 2p auf mod 2 kommst ?

04.12.2010, 20:54

René Gruber

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Oje, ich dachte das wäre lange klar:

$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und die Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sind offenbar teilerfremd, daher kann man die Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} 2p \end{eqnarray*}$ nachweisen, indem man getrennt die Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sowie die Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ nachweist.

Zitat:

Original von them3
Das p eine Primzahl ist, dachte ich wäre klar.

War es auch, aber es schadet ja nicht, es nochmal deutlich festzuhalten, damit alle zufrieden sind.

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