Basisbestimmung / Basisergänzung / Komplementärraum eines Unterraums des R^5

04.12.2010, 15:43	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisbestimmung / Basisergänzung / Komplementärraum eines Unterraums des R^5 Moin Moin, gerade habe ich mich der dritten Aufgabe auf unserem Blatt mal zugewendet und da blicke ich irgendwie kaum durch. Es geht um folgendes: Gegeben sei der R-Vektorraum R^5 und ein Unterraum U des R^5, der wie folgt definiert ist: $\begin{eqnarray} U:= \{\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} \in R^5 \mid 3x_2+4_x4-x_5 = 0, \ \ -x_1+5x_3+x_5 = 0 \} \end{eqnarray}$ a)Bestimmen sie eine Basis von U. b)Ergänzen Sie die Basis von U zu einer Basis von R^5, indem Sie mit Hilfe des Austauschsathes die Basisvektoren von U gegen Basisvektoren der STandardbasis des R^5 austauschen. c) Seien K ein Körper und V ein K-VR mit Basis $\begin{eqnarray} v_1,......,v_n \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} U = <v_1,.....,v_{i-1}> \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass ein Vektor $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n a_iv_1 , a_i \in K \end{eqnarray}$ genau dann einen Komplementärraum zu U erzeugt, wenn $\begin{eqnarray} a_n \neq 0 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die Abbildung, die $\begin{eqnarray} a = \begin{pmatrix} a_1 \\ . \\ . \\ . \\ a_{n-1} \end{pmatrix} \in K^{n-1} \end{eqnarray}$ abbildet auf $\begin{eqnarray} <\sum\limits_{i=1}^{n-1} a_iv_i+v_n> \end{eqnarray}$ eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray} K^{n-1} \end{eqnarray}$ und der Menge aller Komplementärräume von U in V beschreibt. (Veranschaulichen Sie sich die Aussage in den Fällen K = R, n = 2, n = 3!) =========================================================================== =========================================================================== So, eine rieeeesen Aufgabe und wenig Verständnis meinerseits. Erst mal zu a). Da habe ich erst mal ein Gleichungssystem aus den beiden Bedingungsgleichungen aufgestellt und das gelöst. Dann kriege ich raus, dass das natürlich zu wenig Gleichungen sind für eine eindeutige bestimmung von x1 bis x5 und dass ich x3, x4, x5 frei wählen kann. Ich habe x3 = r, x4 = s und x5 = t gewählt wobei r,s,t elemente von R sind. Dann habe ich ja meinen Untervektorraum: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5r+t \\ -\frac{4}{3}s + \frac{t}{3} \\ r \\ s \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wäre dann eine Basis davon $\begin{eqnarray} r\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+sr\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{4}{3} \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{3} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Ansonsten wüsst ich nämlich nicht wie ich da vorgehen soll? Dann zu b): Da verstehe ich jetzt nicht so ganz ob ich nun ergänzen soll oder Austauschen soll. Beim ergänzen müsste ich ja gucken, welche der 5 standardbasisvektoren linear unabhängig zu meiner bisherigen Basis ist, und die dann einfach dranhängen oder? Beim reinen Austauschen würden mir ja aus Dimensionsgründen nachher 2 Basisvektoren fehlen. Wenn ich aber ergänzen und austauschen soll, kann ich dann nciht einfach die 5 Standardbasisvektoren hinschreiben? Wahrscheinlich nicht, ich verstehe aber nicht was da von mir genau gewollt wird. Joa und Aufgabenteil c verstehe ich erst mal überhaupt nicht, da wäre ich schon dankbar durch Hilfreiche verständnistipps. Ich hoffe das hier ist nicht zu viel und ich bedanke mich jetzt schon mal fürs reine durchlesen. Gruß Martin
04.12.2010, 22:46	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basisbestimmung / Basisergänzung / Komplementärraum eines Unterraums des R^5 Mhh, scheint kompliziert zu sein, mir ist gerade aufgefallen, dass ich bei Aufgabenteil c) einen Fehler eingebaut habe. Es muss in der Summe natürlich $\begin{eqnarray} a_iv_i \end{eqnarray}$ heißen. Nicht $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ Bei Aufgabenteil b) habe ich gerade mal überlegt, wenn ich die Basisvektoren von U durch die Standardbasisvektoren des R^5 austauschen soll, dann müsste ich doch erst mal gucken, welche sich denn durch die Basisvektoren von U überhaupt erzeugen lassen. Dann müsste ich ja einige finden (3) und dann die restlichen beiden einfach dazu schreiben. Vom Ergebnis hätte ich dann aber auch nur: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Also ist die Aufgabe dann entweder sehr leicht oder aber ich verstehe immer noch nicht ganz was ich machen soll. Gruß Martin

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »