Iterationsverfahren

04.12.2010, 17:09	Superior	Auf diesen Beitrag antworten »
Iterationsverfahren Meine Frage: Berechnung von Wurzeln und Kehrwerten Konstruktion einer Funktion f(x) so, dass sie x* als einfache Nullstelle besitzt : $\begin{eqnarray} f(x)=x^r-c \end{eqnarray}$ . Da x* eine einfache Nullstelle ist konvergiert das Newton-Verfahren mind. quadratisch. 1. Anwendung des Newton-Verfahren auf f(x). Zeigen, dass die gesuchte Zahl x* ein Fixpunkt von g(x) ist und beweise, dass (bis auf einen Spezialfall) das Newton-Verfahren genau mit der Ordnung 2 gegen x* konvergiert. Spezialfall ist welcher? 2. Für welche Startwerte konvergiert das Newton-Verfahren f(x) Meine Ideen: Also zu 1. f(x) einfach in die Formel einsetzen von Newton: $\begin{eqnarray} g(x)=x_{n+1}=x_n- \frac{x_n^r-c}{r \cdot x_n^{r-1}} \end{eqnarray}$ ich soll ja zeigen, dass es eine einfache Nullstelle ist d.h. mein g(x) konvergiert quadratisch und das heißt: $\begin{eqnarray} g'(x)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g''(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ Da hab ich mein g'(x) bei Matlab gleich 0 gesetzt und auflösen lassen kam was raus mit $\begin{eqnarray} \sqrt c \cdot 1/exp(...) \end{eqnarray}$ . Stimmt mein Vorgehen soweit? Um zu zeigen, dass die gesuchte Zahl x* ein Fixpunkt von g(x) ist muss gelten: $\begin{eqnarray} g(x)=x \end{eqnarray*}$ ? Und das mit der Ordnung 2 verstehe ich nicht, eine Erklärung wäre toll . Zu 2. Ich dachte das ist das Problem beim Newton-Verfahren, richtige Startwerte zu finden.
04.12.2010, 17:48	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsverfahren Spezialfall: Das Newton-Verfahren ist ein so genanntes lokal konvergentes Verfahren. Konvergenz der in der Newton-Iteration erzeugten Folge zu einer Nullstelle ist also nur garantiert, wenn der Startwert, d. h. das 0-te Glied der Folge, schon „ausreichend nahe“ an der Nullstelle liegt. Ist der Startwert zu weit weg, kann alles passieren: * Die Folge divergiert, der Abstand zur Nullstelle wächst über alle Grenzen. * Die Folge divergiert, bleibt aber beschränkt. Sie kann z. B. periodisch werden, d. h. endlich viele Punkte wechseln sich in immer derselben Reihenfolge ab. Man sagt auch, dass die Folge oszilliert. * Die Folge konvergiert trotz der Distanz zur Nullstelle, kann jedoch, falls die Funktion mehrere Nullstellen hat, gegen eine andere als die gewünschte Nullstelle (falls man weiß, welche man will) konvergieren. Konvergenz 2. Ordnung heißt quadratische Konvergenz liegt vor und kann mittels der Restgliedformel gezeigt werden.
04.12.2010, 18:59	Superior	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsverfahren Ok das habe ich schon mal gelesen und auch verstanden. Ach das ist mit 2Ordnung gemeint ist es denn so richtig was ich gemacht habe bisher auch das mit dem Fixpunkt?
05.12.2010, 16:43	Superior	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iterationsverfahren Ok hat sich alles erledigt bin aufn super beitrag von tigerbine gestoßen.

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