Kombination einer Basis

04.12.2010, 19:53

Riemannson

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Kombination einer Basis

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} \theta \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} X^3-4X+2 \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ . Drücken sie $\begin{eqnarray*} \alpha = (1-\theta)(3+\theta-2\theta ^2), \beta = \frac{\theta ^2+1}{\theta ^2+\theta+1} \text{ des Körpers } \mathbb Q(\theta) \text{ als } \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -lineare Kombination der Basis $\begin{eqnarray*} 1,\theta,\theta ^2 \end{eqnarray*}$ aus?

Ich weiß nicht wie ich anfange?!

04.12.2010, 20:51

jester.

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ würde ich ausmultiplizieren, Probleme macht dann nur noch das $\begin{eqnarray*} \theta^3 \end{eqnarray*}$ , das nicht stehen bleiben darf. Benutze, um es loszuwerden, die Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ , Nullstelle von $\begin{eqnarray*} X^4-4X+2 \end{eqnarray*}$ zu sein.

Für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ würde ich als erstes eine Polynomdivision durchführen. Du wirst jedoch zwangsläufig zumindest $\begin{eqnarray*} \theta^{-1} \end{eqnarray*}$ benötigen. Das erhältst du wieder aus der Nullstelleneigenschaft, indem du diese nach 1 auflöst und $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ auf der anderen Seite der Gleichungs ausklammerst.

04.12.2010, 21:05

Riemannson

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okay das mit dem ausmultiplizieren war auch mein erster ansatz aber dann kam das von dir beschriebene problem. Was ich aber nicht ganz verstehe:

Zitat:

Original von jester.

... Benutze, um es loszuwerden, die Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ , Nullstelle von $\begin{eqnarray*} X^4-4X+2 \end{eqnarray*}$ zu sein.

... aus der Nullstelleneigenschaft, indem du diese nach 1 auflöst und $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ auf der anderen Seite der Gleichungs ausklammerst.

meinst du $\begin{eqnarray*} \theta^4-4\theta+2=0 \end{eqnarray*}$ und dann sollte $\begin{eqnarray*} \theta^3 \end{eqnarray*}$ irgendwo aus dieser Gleichung hervorzubringen sein?

04.12.2010, 21:11

Riemannson

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es ist übrigens $\begin{eqnarray*} X^3 \ \ nicht \ \ X^4 \end{eqnarray*}$ kleiner Fehler von dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.12.2010, 21:17

jester.

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Ah ja, klar, gemeint ist die dritte Potenz.

04.12.2010, 21:19

Riemannson

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in der Hoffnung das ich die Lösung für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ habe, stelle ich sie direkt mal rein: $\begin{eqnarray*} \alpha = -3\theta^2+6\theta-1 \end{eqnarray*}$ richtig?

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04.12.2010, 21:43

jester.

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Ja, das habe ich auch heraus.

04.12.2010, 21:58

Riemannson

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super danke das ging ja einfacher als ich dachte! Freude

Freude

05.12.2010, 10:58

Riemannson

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was heißt denn eigentlich Q-lineare Kombination?

05.12.2010, 11:09

Riemannson

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und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\theta]\not= \mathbb Q(\theta) \end{eqnarray*}$ es sind ja $\begin{eqnarray*} -3\theta^2 \in \mathbb Q(\theta), -1 \in \mathbb Q(\theta)... \end{eqnarray*}$ , deshalb ist $\begin{eqnarray*} -3\theta^2+6\theta-1 \end{eqnarray*}$ eine Kombination! Aber verwirrend ist das $\begin{eqnarray*} 3\theta^2+6\theta-1 \in \mathbb Q[\theta] \end{eqnarray*}$

gibt es da einen Zusammenhang ?

05.12.2010, 11:09

jester.

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Das heißt mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

05.12.2010, 12:26

Riemannson

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mir fehlt jetzt auch noch der Punkt, wo ich nach der Polynomdivision $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\theta} \end{eqnarray*}$ einsetzen kann. Ich komme auf $\begin{eqnarray*} 1-\frac{\theta}{\theta^2+\theta+1} \end{eqnarray*}$ ich sehe nicht wie ich den rest vereinfachen kann? verwirrt

verwirrt

05.12.2010, 13:06

jester.

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Hmm, ok, die Polynomdivision war nicht so extrem hilfreich. Mal anders:

De facto rechnen wir ja in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/(X^3-4X+2) \end{eqnarray*}$ , d.h. nutze den erweiterten euklidischen Algorithmus, um $\begin{eqnarray*} X^2+X+1 \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} X^3-4X+2 \end{eqnarray*}$ zu invertieren. Dann haben wir alles, was wir brauchen.

05.12.2010, 13:39

Riemannson

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du meinst: $\begin{eqnarray*} X^2+X+1 : X^3-4X+2 \end{eqnarray*}$ oder?

05.12.2010, 13:59

Riemannson

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dann hätte ich als inverses: $\begin{eqnarray*} \frac{-4}{23}X^2-\frac{3}{23}X+1 \end{eqnarray*}$

05.12.2010, 15:54

jester.

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Das habe ich, bis auf einen Vorfaktor, auch. Der Vorfaktor ist jedoch entscheidend, denn man möchte ja das Inverse haben, sprich ein Element, das bei Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} X^2+X+1 \end{eqnarray*}$ 1 ergibt und nicht eine andere rationale Zahl.

05.12.2010, 16:30

Riemannson

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der Vorfaktor sieht sicher so ähnlich wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{X} \end{eqnarray*}$ aus oder?

05.12.2010, 19:59

jester.

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Nein, der Vorfaktor ist nur noch ein Skalar aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Wenn du den euklidischen Algorithmus durchgeführt hast, musst du ja auch einen ggT herausbekommen haben, der im Idealfall schon in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gelegegen haben sollte.
Dann hast du eine Darstellung $\begin{eqnarray*} r(X^2+X+1)+s(X^3-4X+2)=ggT(X^2+X+1,X^3-4X+2) =: \alpha \end{eqnarray*}$ .
Das heißtdu hast auch eine Darstellung $\begin{eqnarray*} 1= \frac r \alpha (X^2+X+1) + \frac s \alpha (X^3-4X+2) \end{eqnarray*}$ und modulo $\begin{eqnarray*} X^3-4X+2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann das entsprechende inverse Element. D.h. der gesuchte Faktor ist gerade $\begin{eqnarray*} \frac 1 \alpha \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ich hab gerade beim Durchstöbern des Threads noch gesehen, dass du $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\theta]\neq \mathbb{Q}(\theta) \end{eqnarray*}$ geschrieben hast, was ich nicht so sehe, da du das Inverse von $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ durch "Ringoperationen" als Polynom in $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ schreiben kannst. Sprich einfach weil $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ algebraisch über den rationalen Zahlen ist. Aber das nur am Rande.

05.12.2010, 20:29

Riemannson

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als ggT hab ich $\begin{eqnarray*} \frac{37}{23} \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha}=\frac{23}{37} \end{eqnarray*}$ so sollte es doch stimmen....hoffentlich!

05.12.2010, 20:37

Riemannson

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Zitat:

Original von jester.

EDIT: Ich hab gerade beim Durchstöbern des Threads noch gesehen, dass du $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\theta]\neq \mathbb{Q}(\theta) \end{eqnarray*}$ geschrieben hast, was ich nicht so sehe, da du das Inverse von $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ durch "Ringoperationen" als Polynom in $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ schreiben kannst. Sprich einfach weil $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ algebraisch über den rationalen Zahlen ist. Aber das nur am Rande.

das ist also der zusammenhang!

05.12.2010, 20:44

jester.

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$\begin{eqnarray*} 23/37 \end{eqnarray*}$ ist der korrekte Faktor. Freude

Freude

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