Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen - Seite 2

05.12.2010, 13:35

G0rd0nGeKK0

RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen

Also V in Zeilenform ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -3 & 5 &3 &-1 \\ 1 & 3 &1 &-5 &3 \\ 0 & 6 & -1 &-9 &5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich hab eine PDF Datei in diesem Thread zur Verfügung gestellt.

05.12.2010, 13:37

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Warum rechnest du dann die zweite zeile minus dem 3-fachen der ersten?

..Rechne doch folgendes: das 3-fache der 2. Zeile von der 1. Subtrahieren, dann bist du schon fertig....

05.12.2010, 13:41

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Ach Mist, das hab ich auch gemeint, was du gerechnest hast,

dann hat man:

Zeilen getauscht:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 &-5 &3 \\ 0 & -12 &1 &-5 &3 \\ 0 & 6 & -1 &-4 &5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Theoretisch könnte man in der zweiten Spalte noch "0en" erzeugen.

Das Problem, was ich noch habe, ich versuche aus der 1. Zahl ganz oben links genau eine "1" zu genieren, egal wie; aber sowie du das gemacht hast gehts viel einfacher. Ich muss noch einfaches Denken lernen. Freude

05.12.2010, 13:47

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Jetzt konzentrier dich mal, das kann doch nicht sein, dass du es nicht hinbekommst, die zweite Zeile mit (-3) zu multiplizieren und dann die 2. von der 1. Zeile zu subtrahieren...

05.12.2010, 13:52

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 6 & 8 &-12 &8 \\ -3 & -9 &-3 &15 &-9 \\ 0 & 6 & -1 &-9 &5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
sorry hab dich falsch verstanden.

05.12.2010, 15:07

Mathama

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Kleine Zwischenfrage,

also ich nehme die Basis von U und versuch die Basiselemente von V, als Linearkombination darzustellen. Sagen wir es gelingt mir nur beu einem Vektor, v1.

Dann ist lediglich v1 die Basis von (durchschnitt von V undU) ?

Denke das hat diesmal ohne Latex geklappt. Augenzwinkern

Danke für die Hilfe.

05.12.2010, 16:51

Mathama

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Muss ja so sein, weil v1 vereinigt mit der Basis von U wäre l.a. und damit keine Basis.

Würde mich trotzdem freuen, wenn ein feedback kommt Big Laugh

05.12.2010, 19:57

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 6 & 8 &-12 &8 \\ -3 & -9 &-3 &15 &-9 \\ 0 & 6 & -1 &-9 &5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
sorry hab dich falsch verstanden.

Jetzt aber wirklich mal Konzentration bitte....

Wir haben die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -3 & 5 &3 &-1 \\ 1 & 3 &1 &-5 &3 \\ 0 & 6 & -1 &-9 &5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun multiplizieren wir die 2. Zeile mit (-3), das ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -3 & 5 &3 &-1 \\ -3 & -9 & -3 &15 &-9 \\ 0 & 6 & -1 &-9 &5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann addieren wir die 1. Zeile zur zweiten, das ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -3 & 5 &3 &-1 \\ 0 & -12 & 2 &18 &-10\\ 0 & 6 & -1 &-9 &5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun kann man sehen, dass die zweite zeile das (-2)-fache der dritten Zeile ist, also sind diese Zeilen linear abhängig und man kann eine von ihnen streichen, wie schaut also eine Basis von V aus?

@Mathama
dein Vorgehen ist richtig.

05.12.2010, 20:28

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Ich hab ausgerechnet.:

B = $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -5 \\ -9\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\5\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

05.12.2010, 20:30

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
Ich hab ausgerechnet.:

B = $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -5 \\ -9\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\5\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

da fällt mir echt nichts zu ein, die gesuchte Basis sind doch die Zeilen der Matrix und nicht die Spalten, du hast eine 5-elementige Basis eines zweidimensionalen Vektorraums gebildet, überlege einmal, ob soetwas möglich sein kann....

05.12.2010, 20:34

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Ohje sorry smile

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \\ -5\\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 6\\ -1\\-9\\5 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

05.12.2010, 20:37

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Gut, nun haben wir eine Basis von U und eine Basis von V.

Nun überlege, welche Vektoren aus der Basis von V sich als Linearkombination der Vektoren der Basis von U darstellen lassen.

05.12.2010, 20:49

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
meinst du,

$\begin{eqnarray*} A\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3\\-1\\1 \end{pmatrix} + B\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6\\10\\18 \end{pmatrix} + C\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 11\\7\\17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1\\-5\\3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.12.2010, 20:50

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Lass die Mengenklammern weg, dann passt es....

05.12.2010, 20:54

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
So und nun?:P

05.12.2010, 20:56

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Wie und nun?

Rechne nach, ob es Parameter A, B, C gibt, so dass deine Gleichung eine Lösung hat.....

05.12.2010, 21:08

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
A = 1/2

B = 9/16

C = 1/8

sorry, das erste war falsch was ich geschrieben habe.

05.12.2010, 21:22

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
edit:....

05.12.2010, 21:25

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Moment mal es existieren gar keine Lösungen, sagt mir mein Derive Programm grade.. verwirrt

05.12.2010, 21:28

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Das ist richtig, du musst das Ergebnis überprüfen.

Nun versuche den anderen Basisvektor von V als Linearkombi der Basisvektoren aus U darzustellen.

05.12.2010, 21:30

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Meine Lösung passt aber nicht. Habs grad ausprobiert. verwirrt

05.12.2010, 21:33

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Die Bestätigung der Richtigkeit bezog sich darauf:

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
Moment mal es existieren gar keine Lösungen, sagt mir mein Derive Programm grade.. verwirrt

Also es ist richtig, dass keine Lösung existiert.

05.12.2010, 21:34

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Mit dem anderen Basisvektor existieren auch keine Lösungeb. Und was sagt uns das jetzt über $\begin{eqnarray*} U\cap V \end{eqnarray*}$ ?

05.12.2010, 21:35

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Versuche zunächst, den anderen Basisvektor von V als Linearkombination der Basis von U darzustellen.

05.12.2010, 21:37

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Da existieren auch keine Lösungen.

05.12.2010, 23:58

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Da passt man einmal nicht auf und schon schleichen sich Fehler ein, das ist nicht das richtige LGS, das es zu lösen gibt, auf der linken Seite steht nicht unsere Basis.

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
meinst du,

$\begin{eqnarray*} A\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3\\-1\\1 \end{pmatrix} + B\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6\\10\\18 \end{pmatrix} + C\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 11\\7\\17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1\\-5\\3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Lgs, das zu lösen ist ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} A\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3\\-1\\1 \end{pmatrix} + B\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6\\10\\18 \end{pmatrix} + C\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 11\\7\\17 \end{pmatrix} = D \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1\\-5\\3 \end{pmatrix} + E \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -1\\-9\\5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man kann auch analog die Basisvektoren von U und V in eine Matrix schreiben und diese auf Zeilenstufenform bringen um sie auf lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit zu prüfen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &0 & 3&-1&1 \\ 0 & 0 & 11 &7&17\\ 0 & 2 & 3 & 5 & 9 \\ 0 & 6 & -1 & -9 & 5 \\ 1 & 3 & 1 & -5 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.12.2010, 00:28

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
ich gebs kurz bei derive ein mom^^

[a + e = 0 oder b = 0 oder c = 0 oder d + 2*e = 0]

06.12.2010, 00:35

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
ich gebs kurz bei derive ein mom^^

[a + e = 0 oder b = 0 oder c = 0 oder d + 2*e = 0]

Du solltest dir angewöhnen, das in wenigen Minuten lösen zu können, das ist kein Kraftakt und in der Klausur darfst du mit Sicherheit keine Software benutzen.

06.12.2010, 00:36

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Die Zeile 02359 stimmt nicht. Die haben wir doch bei der Berechnung von der Basis von U *2 multipliziert und die dann die III + II gerechnet.

Was ich noch fragen wollte: Wie GENAU sieht jetzt $\begin{eqnarray*} U\cap V \end{eqnarray*}$ aus?

06.12.2010, 00:53

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Berechne die Parameter A, B, C, D, E von $\begin{eqnarray*} A\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3\\-1\\1 \end{pmatrix} + B\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6\\10\\18 \end{pmatrix} + C\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 11\\7\\17 \end{pmatrix} = -D \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1\\-5\\3 \end{pmatrix} - E \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -1\\-9\\5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das ist äquivalent zu dem Lösungsraum des LGS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &0 & 0& 1&0 \\ 0 & 4 & 0 &3&6\\ 3 & 6 & 11 & 1 & -1 \\ -1 & 10 & 7 & -5 & -9 \\ 1 & 18 & 17 & 3 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \end{pmatrix} =\vec{0} \end{eqnarray*}$

Und diesen kann man bestimmen, indem man die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &0 & 0& 1&0 \\ 0 & 4 & 0 &3&6\\ 3 & 6 & 11 & 1 & -1 \\ -1 & 10 & 7 & -5 & -9 \\ 1 & 18 & 17 & 3 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf Zeilenstufenform bringt.

mehr Tipps gibt es nicht, das ganze hier ist schon hart an der Grenze zu einer Komplettlösung, und eigentlcih solltest du schon aus der Schule wissen, wie man zum Beispiel Schnittgeraden von Ebenen bestimmt.

06.12.2010, 01:05

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Danke für deine liebe Hilfe Igrizu smile

Bist der beste smile

06.12.2010, 01:07

lgrizu

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Ich hatte in der letzten Matrix durch kopieren und einfügen die Zeilen und Spalten vertauscht, habs aber editiert....

06.12.2010, 01:13

G0rd0nGeKK0

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RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Du bist gar kein Bäcker, gibs zu Augenzwinkern

du bist Prof Augenzwinkern

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