Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen

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G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Hallo Leute, folgendes Problem.

Seien die Unterräume gegeben durch



,



Bestimmen Sie je eine Basis von und

Kann mir einer helfen beim Aufstellen des Gleichungssystems??? Wie schneidet man Linearkombinationen? Was genau bedeutet ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Wie bestimmst du denn die Schnittmenge zweier Mengen? Ebenso machst du das für Unterräume, zunächst einmal überprüfst du, ob die Vektoren in U linear unabhängig sind, dann schaust du, welche Vektoren aus V sich als Linearkombination der linear unabhängigen Vektoren aus U darstellen lassen, diese sortierst du aus und nimmst nur die Vektoren aus V, die sich nicht als Linearkombination einer Basis aus U darstellen lassen.

Falls du meinst, das beduetet "die Menge der reellen 5-Tupel ohne den Unterraum U"
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Fall, dass neben einer Basis für auch eine Basis von gesucht ist, ist noch der Zassenhaus-Algorithmus zu empfehlen.
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Ich nehme einfach die Dinger, die in beiden Unterräumen drin sind quasi Big Laugh also alle linear unabhängigen Zeilen? meinst du das so?? guck mal aufs arbeitsblatt wegen R \ U
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Zitat:
Original von G0rd0nGeKK0
Ich nehme einfach die Dinger, die in beiden Unterräumen drin sind quasi Big Laugh also alle linear unabhängigen Zeilen?


Wieso denn Zeilen? Du nimmst eine Basis von V und eine Basis von U, hast du die bestimmt?

Welche Vektoren aus der Basis von V lassen sich als Linearkombination der Basis von U darstellen?
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Achso, wenn U und V gleiche Basen haben, dann ist das dann der Schnitt von den beiden??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Zitat:
Original von G0rd0nGeKK0
Achso, wenn U und V gleiche Basen haben, dann ist das dann der Schnitt von den beiden??

Was ist dann der Schnitt von beiden?

Die Basen müssen auch nicht gleich sein, denn jeder Vektorraum hat ziemlich viele unterschiedliche Basen....

Warum beantwortest du meine Fragen eigentlich nicht?

Hast du denn jeweils eine Basis von U und V bestimmt?

Wie sehen sie aus?
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Eine Basis von wäre



und von wäre eine Basis

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
...und wie kommst du darauf? verwirrt

Weißt du denn, wie man eine Basis eines Unterraums bestimmt?
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Weil ich die heute ausgerechnet habe. Hab mit Euklid, jeweils 5 Basen für U und 5 Basen für V bestimmt.

Ja weiß ich.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Dann hast du dich aber gründlich verrechnet, erst einmal haben die Basen von U und 'V mehr als ein Element, dann ist U ein Unterraum des , dein Vektor kann noch nicht einmal ein Basiselement von U sein.

Weißt du, was eine Basis ist?

Meinst du mit 5 Basen 5 Basiselemente?

...V kann höchstens 3 Basiselemente haben....
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Sorry bei U hab ich Mist hingeschrieben, eine Basis von U ist



und von V

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Zitat:
Original von lgrizu
erst einmal haben die Basen von U und 'V mehr als ein Element

Weißt du, was eine Basis ist?

Meinst du mit 5 Basen 5 Basiselemente?

...V kann höchstens 3 Basiselemente haben....


lies dir das auch noch mal durch, sollte nicht schaden, und beantworte meine Fragen.
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Achso du willst das ganze Wissen, ich dachte du wolltest nur EIN Element haben. Loading...

Also U



und V

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Zitat:
Original von G0rd0nGeKK0
Achso du willst das ganze Wissen, ich dachte du wolltest nur EIN Element haben. Loading...


Nein, du willst das ganze wissen, ich helfe dir lediglich, und es ist wichtig, dass du dich korrekt ausdrückst, ansonsten verschwende ich nur meine Zeit, ich habe dich nach einer Basis gefragt, mehrere Male, du hast geschrieben, "eine Basis ist" und nicht "ein Basiselement ist...".
Dann sagtest du, du hättest 5 Basen ausgerechnet, das ist sehr löblich, aber völlig unnotwendig, eine reicht vollkommen aus.
Wenn du Basiselemente meinst, dann sag das auch.

Bevor wir hier weiter machen sagst du mir noch bitte, was eine Basis ist.....
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt.


OK
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Zitat:
Original von G0rd0nGeKK0
In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt.

Nein, das ist so nicht richtig, was du beschrieben hast ist ein Erzeugendensystem.

Zitat:
Original von G0rd0nGeKK0
Also U



Diese Basis ist falsch, ich stelle den Vektor als Linearkombination der Basis dar:



Aus der ersten Zeile folgt:

Aus der 2. Zeile folgt

Aus der 3. Zeile folgt

berechnen der letzten Zeile ergibt:

.
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Aber ich hab wirklich minutiös gerechnet bei U. Ich versteh nicht, warum meine Basis falsch ist. Ich hab die Stufenform erzeugt. Weiter kann ich da nicht rechnen. verwirrt


Wie kommst du auf 100/11??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Ich habe gerade gezeigt, dass ein Vektor aus U nicht als Linearkombination der von dir ermittelten Basis darstellbar ist, also ist das, was du errechnet hast keine Basis von U.

Ich habe 2 Schritte mit Gauß gebraucht, um eine Basis zu finden, also sooo rechenaufwendig ist das nicht, bei V ist es noch einfacher.

Wenn du deine Rechnung postest kann ich dir sagen, wo der Fehler liegt, vielleciht fällt er dir beim Nachrechnen auch selber noch auf.
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
2 Schritte mit GAUSS??? Kannst du mir den Trick zeigen, wie du das gemacht hast??? Ich habe 6-7 Schritte gebraucht traurig Aber wie kommst du auf die 100/11? Ich werde heute vormittag meine Rechenschritte zeigen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Zitat:
Original von lgrizu

Diese Basis ist falsch, ich stelle den Vektor als Linearkombination der Basis dar:



Aus der ersten Zeile folgt:

Aus der 2. Zeile folgt

Aus der 3. Zeile folgt

berechnen der letzten Zeile ergibt:

.
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Zitat:
Original von lgrizu
Ich habe gerade gezeigt, dass ein Vektor aus U nicht als Linearkombination der von dir ermittelten Basis darstellbar ist, also ist das, was du errechnet hast keine Basis von U.

Ich habe 2 Schritte mit Gauß gebraucht, um eine Basis zu finden, also sooo rechenaufwendig ist das nicht, bei V ist es noch einfacher.

Wenn du deine Rechnung postest kann ich dir sagen, wo der Fehler liegt, vielleciht fällt er dir beim Nachrechnen auch selber noch auf.


Mit 2 Schritten kann man keine Basis errechnen?! Beantworte mal meine Frage...Woher hast du die 100/11 ???
Sag mir mal bitte deine Basen, ich will verstehen, wie du das gemacht hast.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Zitat:
Original von G0rd0nGeKK0

Mit 2 Schritten kann man keine Basis errechnen?!


Wieso nicht? verwirrt

Aber jetzt erst einmal eins nach dem anderen, zuerst einmal tragen wir die Vektoren aus U in eine Matrix ein, vorher multiplizieren wir alle Vektoren außer dem ersten mit 2 und erhalten die Matrix:



Nun kann man die 1. Zeile zu allen anderen addieren (Schritt 1).

Wie sieht die Matrix dann aus?
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
OK Big Laugh ich rechne immer ein bisschen anders, ich versuch aus der ersten Zahl ganz oben links durch Subtraktion eine 1 zu generieren und versuche die Spaltenzahlen darunter auf 0 zu reduzieren.

Aber 1*2 bei der dritten Spalte von dir ist nicht -2
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen


III-II
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Zitat:
Original von G0rd0nGeKK0

Aber 1*2 bei der dritten Spalte von dir ist nicht -2


Das stimmt, aber die dritte Zeile habe ich vollständig mit (-1) multipliziert, sorry, hab ich vergessen zu erwähnen Augenzwinkern

Die Matrix ist aber geeignet zum weiterrechnen, entweder musst du in der 3. Zeile das Vorzeichen ändern oder gar nicht, nur bei 2 das Vorzeichen zu ändern wäre falsch.
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
So meine nächste Matrix sieht dann so aus: Zeilentausch schon gemacht.

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Okay, nun die zweite Zeile zum 2-fachen der dritten addieren, dann ist man fertig und kann eine Basis ablesen.
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Nach deiner Vorschrift müsste diese Matrix rauskommen, aber warum ist man hier fertig???Wir haben hier doch keine strikte Stufenform.



hehe^^
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Nein, mach es doch mal Schritt für Schritt, multipliziere zuerst die 3. Zeile mit 2.

Danach addierst du die 2. und die dritte Zeile.
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
III * II =




II + III =

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Stop, mein Fehler, hab den letzten Edit von Dir in diesem Beitrag nicht gelesen:

Zitat:
Original von G0rd0nGeKK0
Nach deiner Vorschrift müsste diese Matrix rauskommen, aber warum ist man hier fertig???Wir haben hier doch keine strikte Stufenform.



hehe^^


Diese Matrix ist richtig, entschuldige für die Verwirrung, die ich noch gestiftet haben könnte.

An dieser Matrix sieht man, dass die 2. und die 4. Zeile linear abhängig sind, eine von beiden kann man also streichen, die verbleibenden drei Zeilen bilden eine Basis.
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Kann man nicht noch die beiden oberen Zeilen / 2 teilen??Ich versteh leider nicht, warum wir fertig sind? Wir können doch bestimmt noch mehr Nullen rechts von der Stufe erzeugen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Klar können wir noch Nullen rechts erzeugen, müssen wir aber nicht um eine beliebige Basis zu berechnen. wenn wir eine Zeile streichen, also die 4. zum Beispiel haben wir die Matrix:



Diese ist in Zeilenstufenform und die Zeilen sind linear unabhängig.

die Zeilen dieser Matrix bilden eine Basis von U.
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Ok soweit ist alles klar, wegen U, jezz brauchen wir noch eine Basis von V und dann kann ich endlich bilden. Hab ich das so richtig verstanden?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Genau, jetzt bilden wir eine Basis von V, auch nur zwei Schritte mit Gauß Augenzwinkern
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Ok eine Basis von V müsste sein:

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Zuerst einmal ist das eine Matrix und keine Basis, du meinst mit Sicherheit, dass die Zeilenvektoren der Matrix eine Basis von V bilden, aber das ist leider falsch.

Was hast du denn gemacht?
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Erster Schritt: II - 3xI
Zweiter Schritt: I*4 III*2
Dritter Schritt: I+II III-II

menno ich dachte ich hätte die Basis von V richtig, weil ich doch die Stufenform erreicht habe.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmenge von Unterräumen / Äquivalenzklassen
Dui solltest dazu anmerken, welches deine 1. , 2. und dritte Zeile ist, so kann ich nur raten....
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