Welcher Würfel wurde geworfen? (minimaler Fehler) |
| 04.12.2010, 21:30 | Justus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Welcher Würfel wurde geworfen? (minimaler Fehler) Teil 1 der Aufgabe kann ich lösen. Bei den folge Aufgaben bin ich mir nicht ganz sicher. Teil 1 ---------------------------- In einem großen Haufen gibt es 3 verschiedene Arten von Würfeln. A, B und C. Jeder dieser Würfel hat 4 flächen, mit den Zahlen: 1, 2, 3 und 4 Die Wahrscheinlichkeiten von jeder Fläche eines jeden Würfels ist in folgender Tabelle dargestellt. Würfel Fläche A B C 1 0,1 0,6 0,3 2 0,15 0,05 0,2 3 0,3 0,1 0,2 4 0,45 0,25 0,3 In dem Haufen sind 30% vom Typ A, 40% vom Typ B und 30% vom Typ C. Da der Haufen durchmischt ist, entspricht dies den Wahrscheinlichkeiten einen bestimmten Würfeltyp auszuwählen. Aufgabe: Es soll nun zufällig ein Würfel gezogen werden und gewürfelt werden. Anhand der Würfelfläche soll dann entschieden werden von welchem Typ der Würfel ist. Die Entscheidung soll mit dem kleinsten Fehler nach dem Theorem von Bayes erfolgen. Ordne jeder Würfelfläche einem Würfeltyp zu und bestimme den möglichen Fehler für deine Strategie. Lösungsansatz: Das ganze kann man sich als eine Summe von Zufallsexperimenten denken. Wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes Experiment durch die Zufälligkeit der Würfelwahl bestimmt wird. Wahrscheinlichkeit für Würfel A Würfel A ausgewählt und es kommt eine Würfelfläche X Stellt man nach der oben beschriebenen Regel eine Tabelle auf kann man Anhand der größten Werte in einer Spalte jeder Würfelfläche einen Würfel zuordnen indem man das Theorem von Bayes verwendet. Würfel A ausgewählt und es kommt eine Würfelfläche 1 Beispiel für Würfel A in und Fläche 1 Fläche Würfel 1 2 3 4 A 0,3*0,1 0,3*0,15 0,3*0,3 0,3*0,45 B 0,4*0,6 0,4*0,05 0,4*0,1 0,4*0,25 C 0,3*0,3 0,3*0,2 0,3*0,2 0,3*0,3 Fläche Würfel 1 2 3 4 A 0,03 0,045 0,09 0,135 B 0,24 0,02 0,04 0,1 C 0,09 0,06 0,06 0,09 Der größe Wert in jeder Spalte sollte dann als Hypothese für die Zuordnung einer Würfelfläche zu jedem Würfel dienen. Die Wahrscheinlichkeit für die Richtige Entscheidung ist hier die Summe der größten Werte in jeder Spalte. Q = 0,24 + 0,06 + 0,09 + 0,135 Der Fehler ergibt sich dann aus: Pe = 1 – Q = 1 – 0,525 = 0,475 Teil 2 ------------------------------------------------------------------------ Der vom Haufen ausgewählte Würfel soll nun nicht nur einmal geworfen werden, sondern zuerst zweimal und dann in einem weiteren Beispiel 4-mal. Geht man dann wie oben vor? In einer Tabelle hätte ich dann nicht nur einzelne Würfelseiten sondern Paare, wie z.B. 11, 12, 22, 34 …. Verwende ich hier den gleichen Ansatz wie oben oder ist da etwas anderes gemeint? |
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| 06.12.2010, 21:56 | Justus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Versteht wohl keiner.... Versteht wohl keiner.... Ich versuche es dann mal mit der Original Aufgabenstellung In einem großen Haufen mit vierseitigen Würfeln, die alle gleich aussehen, gibt es 3 verschiedene Arten von Würfeln. A, B und C. Die Würfelseiten lauten 1,2,3 und 4. Die Wahrscheinlichkeiten mit welcher jeder Würfel auf eine bestimmte Seite fällt ist in der Tabelle aufgelistet. A B C 1 0,1 0,6 0,3 2 0,15 0,05 0,2 3 0,3 0,1 0,2 4 0,45 0,25 0,3 In dem Haufen befinden sich 30% von Würfeltyp A, 40% von Würfeltyp B und 30% von Würfeltyp C. Die Wahrscheinlichkeit mit der ein Würfel ausgewählt wird beträgt. A = 0,3 B = 0,4 C = 0,3 Wähle nun zufällig einen Würfel aus und werfe ihn einmal. Bestimme nun anhand der Würfelfläche welcher Würfeltyp es ist. Die Entscheidung ist so zu treffen das die geringste mögliche Wahrscheinlichkeit eines Fehlers auftritt, wie sie durch Regel von Bayes beschrieben wird. Bestimme für jede Würfelseite welchen Würfeltyp du auswählen würdest. Bereche die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers für deine Strategie. |
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| 06.12.2010, 22:14 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Versteht wohl keiner.... Es bleibt unklar, was für eine Entscheidung getroffen werden soll. |
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| 06.12.2010, 22:34 | Justus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Versteht wohl keiner.... Nicht ganz. Angenommen ich berechne die Wahrscheinlichkeit für Würfel A gewählt und es kommt Seite 1 P(1|A) = 0,3 * 0,1 und ebenso für P(1|B) = 0,4 * 0,6 P(1|C) = 0,3 * 0,3 dann ist P(1|B) hier die größte Zahl. Wenn ich das für den Rest der Werte mache, habe ich für jede Würfelseite eine Hypothese welcher Würfel das sein könnte, 1 2 3 4 A 0,3*0,1 0,3*0,15 0,3*0,3 0,3*0,45 B 0,4*0,6 0,4*0,05 0,4*0,1 0,4*0,25 C 0,3*0,3 0,3*0,2 0,3*0,2 0,3*0,3 |
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| 07.12.2010, 10:50 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Versteht wohl keiner.... Wenn du nicht einsehen willst, dass deine Aufgabenformulierung sprachlich nicht klärt, was für eine Entscheidung zu treffen ist (die Würfelwahl kann es ja nicht sein: Die ist behauptetermassen zufällig), dann wird dir tatsächlich keiner helfen. |
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| 07.12.2010, 19:31 | Justus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Versteht wohl keiner.... ja tut mir leid ok, tut mir leid. Ich sehe ein, dass das ganz nicht ganz klar ist. Liegt wohl daran das ich das selber noch nicht ganz verstanden habe. Aber zurück zur Aufgabe. Ich möchte wissen: 1. Welchem Würfetyp würde man am Wahrscheinlichsten welches Ergebnis zuordnen, wenn man nicht wüsste welcher Würfel geworfen wurden und nur die Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle kennt. 2. Wie würde das ganz ablaufen, wenn man jetzt nicht nur einmal würfelt sondern 2-mal den gezogenen Würfel benutzt. 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Würfel A gezogen wurde, wenn man mit diesem Würfel hintereinander die Zahlen 1,2,3 und 4 würfelt. |
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| 07.12.2010, 22:41 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Versteht wohl keiner.... ja tut mir leid Meinst du es mit Aufgabe 1 etwa so? Bitte studieren. (Ich halte dies nicht für eine Komplettlösung, da Kommentare und die Aufgaben 2 und 3 noch ganz fehlen. [attach]17040[/attach] |
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| 08.12.2010, 22:12 | Justus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Versteht wohl keiner.... ja tut mir leid Danke, dass Du dir so viel Mühe gegeben hast mit der Tabelle. Wenn man die Dinge so übersichtlich darstellt, wird vieles klarer. Ok, nun zu meinen Ansatz: > 1. Welchem Würfetyp würde man am Wahrscheinlichsten welches Ergebnis > zuordnen, wenn man nicht wüsste welcher Würfel geworfen wurden und > nur die Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle kennt. Ja, genau. So habe ich das gemeint, wie in deinem Bild dargestellt. > 2. Wie würde das ganz ablaufen, wenn man jetzt nicht nur einmal würfelt > sondern 2-mal den gezogenen Würfel benutzt. Das wäre mein Lösungsansatz für Aufgabe 2 [attach]17061[/attach] 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Würfel A gezogen wurde, wenn man mit diesem Würfel hintereinander die Zahlen 1,2,3 und 4 würfelt. |
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| 08.12.2010, 22:54 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Versteht wohl keiner.... ja tut mir leid Sieht alles sehr gut aus. Nachrechnen kann ich nicht: Habe leider heute und morgen kaum Zeit. Beachte: Faire Würfel (d.h. hier Laplace-Tetraeder) hätten die W'keit 0.3333. C ist der fairste der 3 (vgl. gegebene W'keiten); ein ausgeglichener Wurf wie 1-2-3-4 deutet deshalb am ehesten auf C hin. |
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