Magisches Quadrat

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04.12.2010, 22:40	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Magisches Quadrat Wir bezeichnen eine Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{pmatrix} \in\mathbb R ^{3x3} \end{eqnarray}$ als magisches Quadrat, wenn es ein $\begin{eqnarray} k \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , sodass die Zeilen- Spalten- und Diagonalsummen der $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ jeweils $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ergeben. Wir setzen $\begin{eqnarray} V :=\{A \in \mathbb R ^{3x3} \| A \end{eqnarray}$ ist magisches Quadrat $\begin{eqnarray} \} \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3x3} \end{eqnarray}$ ist. b) Zeigen Sie, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi: V\rightarrow\mathbb R ^{3} , A=\begin{pmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{pmatrix} \mapsto\begin{pmatrix} a11 \\ a12 \\ a13 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus ist. c) Bestimmen Sie eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ Meine Idee zu a) Nullvektor ist enthalten ==> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in A \end{eqnarray}$ und es existiert ein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , sodass dies auch ein magisches Quadrat ergibt. Abgeschlossenheit bezüglich der Addition ==> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a11+b11 & a12+b12 & a13+b13 \\ a21+b21 & a22+b22 & a23+b23 \\ a31+b31 & a32+b32 & a3+b33 \end{pmatrix} \in A \end{eqnarray}$ Abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation ==> $\begin{eqnarray} \lambda \cdot \begin{pmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} \lambda \cdot a11 & \lambda \cdot a12 & \lambda \cdot a13 \\ \lambda \cdot a21 & \lambda \cdot a22 & \lambda \cdot a23 \\ \lambda \cdot a31 & \lambda \cdot a32 & \lambda \cdot a33 \end{pmatrix} \in A \end{eqnarray}$ Kann ich das für a) so hinschreiben??
05.12.2010, 13:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Hinschreiben" ist die Behauptung. wo ist der "Beweis" ?
05.12.2010, 13:26	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja deswegen fragte ich ja ob ich das für a) so hinschreiben kann Kann ich mir einfach zwei Matrizen nehmen als Beispiel und damit rechnen??
05.12.2010, 14:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, ja, entschuldigung. Hinschreiben ist in Ordnung. Damit rechnen kann ein Beweis werden.
05.12.2010, 14:02	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok aber eigentlich hab ich ja bei der Abgeschlossenheit der Addition ja schon zwei Elemente $\begin{eqnarray} \in R^{3x3} \end{eqnarray}$ ja schon addiert wie du oben schon siehst. Warum ist das jetzt kein Beweis? Was fehlt da genau?
05.12.2010, 14:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast zwei magische Quadrate addiert, woher weiss ich jetzt, dass die Summe magisch ist ? Ich sehe ein Quadrat.
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05.12.2010, 14:23	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
ok wir summieren zwei magische Quadrate und k ist 10. Wenn wir die beiden magischen Quadrate jetzt summieren, kann k bei der dritten Matrix ja nicht auch 10 sein? Aber wie drück ich das mathematisch aus?Moment mal ich habe grade ein Beispiel gerechnet, da funktioniert es Ich bring mal den Begriff "Grundquadrate" ins Spiel
05.12.2010, 14:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel ist kein Beweis. Beispiele nützen nur dann etwas, wenn sie nicht funktionieren, dann heißen sie Gegenbeispiel und beweisen, dass eine Aussage falsch, also ihr Gegenteil wahr ist.
05.12.2010, 14:31	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist wenn ich, $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 &a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ rechne bezüglich Abgeschlossenheit der Addition?
05.12.2010, 14:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nützt nichts, wäre nur ein Beispiel.
05.12.2010, 14:33	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann weiß ich nicht wie die Abgeschlossenheit von "+" aufschreiben kann
05.12.2010, 14:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch schon die Summe berechnet. Um zu zeigen, dass das wieder ein magisches Quadrat ist, musst du nur die Zeilensummen, Spaltensummen und Diagonalsummen dieses Quadrats bilden - wenn du genau hinsiehst setzen sie sich aus entsprechenden Teilen der magischen Summanden zusammen ... so entsteht ein Beweis ... hoffentlich ...
05.12.2010, 14:49	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also Zeilen-Spalten-Diagonal Summationen ergeben das selbe Ergebnis. Ich denke mal bei der Skalarmultplikation dürfte etwas ähnliches rauskommen. Ok nun zu b) Ich muss einfach zeigen, dass diese lineare Abbildung bijektiv ist. Richtig?
05.12.2010, 14:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) bei der Skalarmultiplikation kommt offensichtlich nicht dasselbe sondern das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -fache heraus. zu b) ja.
05.12.2010, 15:05	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
(1) Surjektivität: $\begin{eqnarray} \forall y\in Y\exists x\in X \| f(x) = y \end{eqnarray}$ (2) Injektivität: $\begin{eqnarray} \forall x_{1}x_{2} \in X : f(x_{1}) = f(x_{2} ) \Rightarrow x_{1} = x_{2} \end{eqnarray}$ Ok erstmal zu (1) Ich nehme mir ein beliebiges $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ sagen wir $\begin{eqnarray} (a11,a12,a13) \end{eqnarray}$ . Dann existiert doch, ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ sagen wir $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (a11,a12,a13) \end{eqnarray}$ ergibt?
05.12.2010, 15:34	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry die letzte matrix ist natürlich spaltenweise definiert: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a11\\ a12 \\ a13 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
05.12.2010, 20:24	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jemand ne Meinung zu 1)????
06.12.2010, 18:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bleibst wieder viel zu allgemein, damit machst du keine Aussagen, also kann auch niemand eine Meinung dazu haben. Bei der Bijektion geht es um den ganz konkreten Raum der magischen Quadrate und um den ganz konkreten Raum $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Also musst du eine ganz konkrete Konstruktion für eine Abbildung f angeben, dann erst kannst du beweisen, dass f bijektiv ist.

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