Ableitung von Stichproben?

04.12.2010, 23:51	blackdrake	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von Stichproben? Hallo. Ich habe eine Wertetabelle mit z.B. gefahrenen Kilometern und möchte nun die Geschwindigkeit und Beschleunigung berechnen. Dies wäre normalerweise die erste bzw. zweite Ableitung, allerdings sind die Ableitungen ja nur bei stetigen und differenzierbaren Funktionen als solche definiert. Ich habe mir mal gedanken gemacht, ob man "Ableitungen" zu Folgen bilden kann. Die Wertetabelle sei ersteinmal folgende: 1 h -> 20 km 2 h -> 30 km 3 h -> 30 km (Stehen bleiben) 4 h -> 20 km (Rückwärts) Damit ergibt sich die Folge: a(1)=20, a(2)=30, a(3)=30, a(4)=20 Da die Messabstände (h) gleich sind, kann ich "trivial" einfach die Differenzen rechnen, um die Geschwindigkeit zu ermitteln: a'(2) = a(2)-a(1) = 30km-20km = 10km a'(3) = a(3)-a(2) = 30km-30km = 0km (Stillstand) a'(4) = a(4)-a(3) = 20km-30km = -10km (Rückwärtsgang) (Die korrekte Dimension km/h ist noch nicht vorhanden, da dies die triviale Methode ist und die Zeit nicht miteinbezogen wird) Die zweite Ableitung: $\begin{eqnarray} a''(x) = a'(x) - a'(x-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \ge 2 \end{eqnarray}$ usw. Damit ergeben sich die Gleichungen: I. (a-b) = a- b II. (a-b) - (b-c) = a-2b+ c III. (a-2b+c) - (b-2c+d) = a-3b+ 3c- d IV. (a-3b+3c-d) - (b-3c+3d-e) = a-4b+ 6c- 4d+ e V. (a-4b+6c-4d+e) - (b-4c+6d-4e+f) = a-5b+10c-10d+5e-f Ich habe erkannt, dass es sich bei den Faktoren um Binome mit alternierenden Vorzeichen handelt und dass dann die Gleichung folgende ist: $\begin{eqnarray} a^{(n)}(b) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \cdot a(b-i) \cdot \binom{n}{i},\; b\ge n \end{eqnarray}$ Nun zu meinem Problem: Sind die Mess-Zeitabstände NICHT gleichmäßig, wie muss dann die "Ableitung" aussehen? Ich dachte zuerst, es sei ziemlich einfach, da man einfach die Werte in Bezug auf ihre Messzeit nehmen müsse. Meine Idee dazu wäre $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \cdot \frac{f(x-i)}{x-i} \cdot \binom{n}{i},\; x\ge n \end{eqnarray}$ Daher ergibt sich nun eine Funktion, die allerdings nicht stetig ist und nur an bestimmten Punkten definiert ist. Eigentlich nicht ableitbar. f(1h) = 20 km f(2h) = 30 km f(3h) = 30 km f(4h) = 20 km Die Ableitung wäre damit zu berechnen als $\begin{eqnarray} f'(2h) = f(2h)/2h - f(1h)/1h \end{eqnarray}$ Es kommen also die Brüche hinzu. Nun die Geschwindigkeit zu Zeitpunkt 2h ermitteln: $\begin{eqnarray} f'(2h) = f(2h)/2h - f(1h)/1h = 30km/2h - 20km/1h = -10km/2h \end{eqnarray}$ Wieso ist die Geschwindigkeit nun negativ? Die Zeit ist um 1h anstiegen und die Kilometeranzahl um 10km. Also ist es definitiv eine positive Geschwindigkeit. Wieso hat meine erste Variante funktioniert und die zweite hingegen nicht? Gruß blackdrake

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